河南省（菁师联盟）2022-2023学年高三上学期理数12月质量监测考试试卷

试卷更新日期：2023-01-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | | x - 1 | < 1}$ ， $B = {x | x^{2} + x \geq 0}$ ，则 $(∁_{U} A) \cup (∁_{U} B) =$ （）

A、 $[0 ， 2]$ B、 $(- \infty ， 0] \cup [2 ， + \infty)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $(- \infty ， 0) ∪ (2 ， + \infty)$

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2. 已知复数z满足 $z \cdot (3 + 2 i) = - 1 + 3 i$ ，则z的虚部为（）

A、 $\frac{11}{13}$ B、 $\frac{3}{13}$ C、 $- \frac{3}{13}$ D、 $- \frac{11}{13}$

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3. 2021年，我国全年货物进出口总额391009亿元，比上年增长21.4%.其中，出口217348亿元，增长21.2%；进口173661亿元，增长21.5%.货物进出口顺差43687亿元，比上年增加7344亿元.如图是我国2017—2021年货物进出口总额统计图，则下面结论中不正确的是（）

A、2020年的货物进出口总额322215亿元 B、2020年的货物进出口顺差36343亿元 C、2017—2021年，货物进口总额逐年上升 D、2017—2021年，货物出口总额逐年上升

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4. 丹麦化学家索伦森是首位建立pH值概念的生化学家，他把pH值定义为 $P H = - l g [H^{+}]$ ，式子中的 $[H^{+}]$ 指的是溶液中的氢离子的浓度，单位为摩尔/升（ $m o l / L$ ），若某种溶液中的氢离子的浓度为 $6 \times 1 0^{- 8} m o l / L$ ，则该溶液的pH值约为（ $l n 6 \approx 0.78$ ）（）

A、8 B、7.78 C、7.22 D、6

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5. 已知直线l： $\sqrt{2} x - y - \sqrt{2} = 0$ 与抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 交于A，B两点，点A，B到x轴的距离分别为m，n，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$

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6. 已知单位向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 的夹角为 $θ$ ，且向量 $2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 与 $\vec{e_{1}} - 3 \vec{e_{2}}$ 的夹角为 $120 °$ ，则 $c o s θ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{23}{31}$ C、 $\frac{1}{2}$ 或 $- \frac{23}{31}$ D、 $- \frac{1}{2}$ 或 $\frac{23}{31}$

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7. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $a = 3$ ， $b = 4$ ， $c = \sqrt{13}$ ，点D，E分别是边BC，BA的中点，且AD，CE交于点O，则四边形BDOE的面积为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{5}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{4}$

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8. 如图为某四面体的三视图，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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9. 已知函数 $f (x) = c o s (ω x + φ) ， (ω > 0 ， - π < φ < 0)$ ， $f (0) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且 $f (x)$ 在 $[- 100 π ， 100 π]$ 上恰有100个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{147}{300} ， \frac{149}{300})$ B、 $(\frac{147}{300} ， \frac{149}{300}]$ C、 $[\frac{149}{300} ， \frac{151}{300})$ D、 $(\frac{149}{300} ， \frac{151}{300}]$

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10. 盒子中有9个大小质地完全相同的小球，其中3个红球，6个黑球，从中依次随机摸出3个小球，则第三次摸到红球的概率为（）

A、 $\frac{19}{84}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{5}{14}$

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11. 双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线与C交于A，B两点，且 $\vec{A F_{2}} = 2 \vec{F_{2} B}$ ， $∠ A B F_{1} = 60 °$ ，点M为线段 $A F_{2}$ 的中点，则 $\frac{| F_{1} M |}{| F_{1} F_{2} |} =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{21}}{7}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{3 \sqrt{21}}{8}$

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12. 设 $a = l o g_{6} 4$ ， $b = l o g_{9} 5$ ， $c = l o g_{12} 8$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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二、填空题

13. 若x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y + 1 \geq 0 \\ x + y - 1 \geq 0 \\ y \geq 0 \end{array}$ ，则 $y - 2 x$ 的最大值为.

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14. ${(x^{3} - x + 1)}^{6}$ 展开式中 $x^{6}$ 的系数为．（答案用数字作答）

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15. 在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形，平面 $S A C ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $c o s ∠ S A C = - \frac{1}{3}$ ， $S C = 4$ ，则四棱锥 $S - A B C D$ 外接球的表面积为.

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16. 关于函数 $f (x) = e^{c o s x} - \frac{1}{e^{c o s x}}$ 有如下四个命题：
① $f (x)$ 的图象关于y轴对称；
② $f (x)$ 的图象关于 $(π ， 0)$ 对称；
③ $f (x)$ 的最小值是 $\frac{1}{e} - e$ ；
④ $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上单调递减．
其中所有真命题的序号是．

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三、解答题

17. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = - 2$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3 n - 3$ ．

(1)、证明：数列 ${a_{n} + 3 n}$ 为等比数列；

(2)、若 $T_{n} = S_{n} + \frac{3}{2} n^{2} - \frac{13}{2} n$ ，求 $T_{n}$ 的最小值．

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18. 某射击队派出甲、乙两人参加某项射击比赛，比赛规则如下：开始时先在距目标50米射击，命中则停止射击；第一次没有命中，可以进行第二次射击，但目标为100米；第二次没有命中，还可以进行第三次射击，此时目标在150米处；若第三次没命中则停止射击，比赛结束．已知甲在50米，100米，150米处击中目标的概率分别为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{6}$ ，乙在50米，100米，150米处击中目标的概率分别为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{5}$ ．

(1)、求甲，乙两人中恰有一人命中目标的概率；

(2)、若比赛规定，命中目标得2分，没有命中目标得0分，求该射击队得分X（X为甲，乙得分之和）的分布列和数学期望．

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = B A_{1} = C A_{1} = A C = 2$ ， $∠ A B C = 90 °$ ．

(1)、求直线 $A_{1} B$ 与平面ABC所成的角；

(2)、若 $A B = 1$ ，求二面角 $A - A_{1} B - C$ 的正弦值．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上点 $P (1 ， \frac{3}{2})$ 与圆 $x^{2} + {(y - \frac{a + 3}{2})}^{2} = 1$ 上点M的距离的最大值为 $\sqrt{2} + 1$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若点 $Q (0 ， \frac{2}{3})$ ，不过 $(0 ， 1)$ 的动直线l与椭圆C交于A，B两点，且 $\vec{Q A} \cdot \vec{Q B} = - \frac{23}{9}$ ，证明：动直线l过定点，并求出该定点坐标．

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21. 已知函数 $f (x) = x l n x - 3 x + 4 l n (x + 1)$ 的最小值为 $M$ ．

(1)、求 $M$ 的值；

(2)、若 $g_{1} (x) = f (x) + f (\frac{1}{x})$ ， $g_{n + 1} (x) = g_{n} (x) + g_{n} (\frac{1}{x}) (n \in N^{*})$ ，且函数 $g_{2022} (x)$ 的最小值为 $N$ ，证明： $l o g_{2} \frac{N}{M} = 2022$ ．

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22. 在平面直角坐标系xOy中， $A (- 2 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ，动点 $P (x ， y)$ 满足 $| P A | = 2 | P B |$ ，动点P的轨迹为曲线C．

(1)、写出曲线C的一个参数方程；

(2)、求 $| P A | \cdot | P B |$ 的取值范围．

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23. 已知函数 $f (x) = | x^{2} - 3 a^{2} - 3 | + | x^{2} - a - 1 |$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，解不等式 $f (x) \leq 4$ ；

(2)、若 $f (x) \geq 2$ 恒成立，求a的取值范围.

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