河北省廊坊市安次区2023届高三上学期数学12月调研试卷

试卷更新日期：2023-01-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，集合 $M = {1 ， 2 ， 3 ， 4} ， N = {3 ， 4 ， 5}$ ，则 $∁_{U} (M ∩ N) =$ （）

A、{5} B、 ${1 ， 2}$ C、 ${3 ， 4}$ D、 ${1 ， 2 ， 5}$

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2. 设复数 $z_{1} = 1 + i$ ， $z_{2} = 1 - i$ ，则 $\frac{1}{z_{1}} + \frac{1}{z_{2}} =$ （）

A、1 B、-1 C、 $i$ D、 $- i$

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3. 若点 $M (s i n \frac{5 π}{6} ， c o s \frac{5 π}{6})$ 在角 $α$ 的终边上，则 $c o s 2 α =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 为了得到函数 $y = s i n 2 x$ 的图像，只需把函数 $y = s i n (2 x + \frac{π}{2})$ 的图像（）

A、向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位 D、向右移 $\frac{π}{4}$ 个单位

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5. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：100 $m L$ 血液中酒精含量在20~80 $m g$ 之间为酒后驾车，80 $m g$ 及以上为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.2 $m g / m L$ ，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（）（参考数据： $l g 2 \approx 0.3$ ， $l g 3 \approx 0.48$ ）

A、6 B、7 C、8 D、9

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6. 已知向量 $\vec{a} = (2, 2 \sqrt{3})$ ，若 $(\vec{a} + 3 \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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7. 已知 $F_{1}$ 是双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点， $O$ 为坐标原点，过 $F_{1}$ 且倾斜角为 $30 °$ 的直线 $l$ 与双曲线 $E$ 的渐近线 $y = - \frac{b}{a} x$ 交于 $A$ 点，若 $| F_{1} A | = b$ ，则双曲线 $E$ 的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{2}{3} \sqrt{3}$

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二、多选题

8. 已知函数 $f (x) = (x^{2} + 1) l n x - m (x^{2} - 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $m = 0$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $y = 2 x$ B、当 $m \leq 1$ 时， $f (x)$ 在定义域内为增函数 C、当 $m > 1$ 时， $f (x)$ 既存在极大值又存在极小值 D、当 $m > 1$ 时， $f (x)$ 恰有3个零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，且 $x_{1} x_{2} x_{3} = 1$

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9. 下列式子等于 $c o s (x - \frac{π}{6})$ 的是（）

A、 $c o s (x - \frac{5 π}{6})$ B、 $s i n (x - \frac{2 π}{3})$ C、 $\frac{\sqrt{3} c o s x + s i n x}{2}$ D、 $2 c o s^{2} (\frac{π}{12} - \frac{x}{2}) - 1$

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10. “杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其密度曲线函数为 $f (x) = \frac{1}{10 \sqrt{2 π}} e^{- \frac{{(x - 100)}^{2}}{200}}, x \in (- \infty, + \infty)$ ，则下列说法正确的是（）

A、该地水稻的平均株高为100cm B、该地水稻株高的方差为10 C、随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大 D、随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm)的概率一样大

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11. 已知直线 $l$ ： $y = k (x - \frac{p}{2})$ 与抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 相交于A，B两点，点A在x轴上方，点 $M (- 1 ， - 1)$ 是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（）

A、 $p = 2$ B、 $k = - 2$ C、 $M F ⊥ A B$ D、 $\frac{| F A |}{| F B |} = \frac{2}{5}$

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，P，Q分别为棱 $A_{1} D_{1}$ ， $D_{1} C_{1}$ 的中点，M为线段BD上的动点，则（）

A、 $P Q ∥ B C$ B、 $P Q ⊥ B_{1} M$ C、三棱锥 $P - Q M B_{1}$ 的体积为定值 D、M为BD的中点时，则二面角 $M - P Q - B_{1}$ 的平面角为60°

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三、填空题

13. ${(\frac{1}{x} + \sqrt{x})}^{3}$ 展开式的常数项为．

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14. 2022年北京冬奥会即将开幕，某校4名学生报名担任志愿者.将这4名志愿者分配到3个比赛场馆，每个比赛场馆至少分配一名志愿者，则所有分配方案共有种.（用数字作答）

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15. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为F，直线 $y = \frac{4}{3} x$ 与双曲线相交于A，B两点，若 $A F ⊥ B F$ ，则双曲线C的离心率为.

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16. 函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (x + \frac{3 π}{2})$ 且 $f (\frac{π}{4} + x) = f (\frac{π}{4} - x)$ ，则称函数 $f (x)$ 为M函数．当 $x \in [\frac{π}{4} ， π]$ 时， $h (x) = s i n x$ ， $g (x) = {(\frac{e}{3})}^{x}$ ，且 $h (x)$ ， $g (x)$ 均为M函数，则方程 $h (x) = g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， 4 π]$ 上所有根的和为．（参考数据： $l n 2 \approx 0.693$ ， $l n 3 \approx 1.099$ ）

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} + a_{n + 1} = 2 n$ ；数列 ${b_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $b_{1} = 1$ ， $2 S_{n} = b_{n + 1} - 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ，求 ${c_{n}}$ 前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ .

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18. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a s i n A + (b - a) s i n B = c s i n C$ ．

(1)、求角C；

(2)、求 $\frac{a + b}{c}$ 的取值范围．

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19. 中国载人航天工程办公室发布消息，为发挥中国空间站的综合效益，中国首个太空科普教育品牌“天宫课堂”正式推出.中国空间站首次太空授课活动于2021年12月9日面向全球进行直播.为了了解学生对此次直播课的观看情况，现从高三某班随机选取10名学生进行调查，发现有6名学生观看了直播，4名学生未观看直播.

(1)、若从这10名学生中任选2名学生，求至多有1名学生未观看直播的概率；

(2)、若从这10名学生中任选3名学生，记其中观看了直播的学生人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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20. 在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥DC，且AB=1，AD=DC=DP=2，∠PDC=120°．

(1)、求证：AD⊥PC；

(2)、求二面角P-AB-C的余弦值；

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21. 已知O坐标原点，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点为A，右顶点为B， $△ A O B$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，原点O到直线AB的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过C的左焦点F作弦DE，MN，这两条弦的中点分别为P，Q，若 $\vec{D E} \cdot \vec{M N} = 0$ ，求 $△ F P Q$ 面积的最大值．

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22. 已知 $f (x) = e^{x} - a \cdot \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，分别求 $n = 1$ 和 $n = 2$ 的 $f (x)$ 的单调性；

(2)、求证：当 $a = 1$ 时， $f (x) = 0$ 有唯一实数解 $x = 0$ ；

(3)、若对任意的 $x \geq 0$ ， $n \in N^{*}$ 都有 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求a的取值范围．

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