河北省衡水市安平县2023届高三上学期数学12月调研试卷

试卷更新日期：2023-01-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {y | y = 2^{x} + 1}$ ， $B = {x | y = l n (6 - x) ， x \in N^{*}}$ ，集合 $C = A ∩ B$ ，则集合 $C$ 的子集的个数为（）

A、4 B、8 C、16 D、32

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2. 已知复数z满足 $(4 + 3 i) (z + i) = 25$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、 $4 \sqrt{2}$ D、32

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3. 已知 $t a n θ = - 2$ ，则 $\frac{s i n θ}{s i n θ + c o s θ} =$ （）

A、 $2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- 2$

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4. $c o s \frac{π}{24} s i n \frac{23 π}{24} s i n \frac{5 π}{12} =$ （）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{8}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{16}$

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5. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：100 $m L$ 血液中酒精含量在20~80 $m g$ 之间为酒后驾车，80 $m g$ 及以上为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.2 $m g / m L$ ，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（）（参考数据： $l g 2 \approx 0.3$ ， $l g 3 \approx 0.48$ ）

A、6 B、7 C、8 D、9

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6. 已知 $m$ ， $n$ 是两条不重合的直线， $α$ ， $β$ 是两个不重合的平面，下列说法正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $α / / β$ ， $m ⊥ α$ ， $n / / β$ ，则 $m / / n$ C、若 $m / / α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $α ⊥ β$ ， $m / / α$ ， $n / / β$ ，则 $m ⊥ n$

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7. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点和上顶点分别为 $A ， B$ ，若 $A B$ 的垂直平分线过 $E$ 的下顶点 $C$ ，则 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $\frac{{(a_{n + 1} - 1)}^{2}}{a_{n + 1}} = \frac{{(a_{n} + 1)}^{2}}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a_{n} > 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 是单调递减数列 B、若 $0 < a_{n} < 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 是单调递增数列 C、 $a_{1} = 2$ 时， $a_{n + 1} + \frac{1}{a_{n + 1}} > 2 + 4 n$ D、 $a_{1} = \frac{1}{2}$ 时， $a_{n + 1} + \frac{1}{a_{n + 1}} < 2 + 4 n$

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二、多选题

9. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} > 0$ ， $a_{4} + a_{11} > 0$ ， $a_{7} \cdot a_{8} < 0$ ，则（）

A、数列 ${a_{n}}$ 是递增数列 B、 $S_{6} > S_{9}$ C、当 $n = 7$ 时， $S_{n}$ 最大 D、当 $S_{n} > 0$ 时，n的最大值为14

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10. 为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测．现有两种检测方式：（1）逐份检测：（2）混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为 $k + 1$ 次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为 $p (0 < p < 1)$ ，若 $k = 10$ ，运用概率统计的知识判断下列哪些p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式．（参考数据： $l g 0.794 \approx - 0.1$ ）（）

A、0.4 B、0.3 C、0.2 D、0.1

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11. 设 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a \neq b$ ，则“ $a + b > 2$ ”的一个必要条件可以是（）

A、 $a^{3} + b^{3} > 2$ B、 $a^{2} + b^{2} > 2$ C、 $a b > 1$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} > 2$

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12. 已知函数 $f (x) = x l n x - \frac{a}{2} x^{2}$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则（）

A、a的取值范围为（－∞，1） B、 $x_{1} + x_{2} > 2$ C、 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} > 2$ D、 $x_{2} - x_{1} > \frac{1}{a} - 1$

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三、填空题

13. $(2 + x^{2}) {(1 - \frac{1}{x})}^{5}$ 展开式中的常数项是．

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14. 2022年北京冬奥会即将开幕，某校4名学生报名担任志愿者.将这4名志愿者分配到3个比赛场馆，每个比赛场馆至少分配一名志愿者，则所有分配方案共有种.（用数字作答）

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15. 已知点M的坐标为（2，0），AB是圆O： $x^{2} + y^{2} = 1$ 的一条直径，则 $\vec{M A} \cdot \vec{M B} =$ ．

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16. 九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N^*）个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a₁＝1，且an＝ ${\begin{array}{l} 2 a_{n - 1} - 1 ， n 为偶数 \\ 2 a_{n - 1} + 2 ， n 为奇数 \end{array}$ ，则解下n（n为奇数）个环所需的最少移动次数为.（用含n的式子表示）

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} = \frac{1}{3} (a_{n} - 1)$ ， n∈N*．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = a_{n} \cdot s i n \frac{n π}{2}$ ，求数列{bn}的前100项的和 $T_{100}$ ．

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18. 在平面四边形ABCD中，∠BAD＝2∠ACB＝4∠BAC，AB＝2，BC＝ $\sqrt{6}$ － $\sqrt{2}$ ， CD＝ $\sqrt{13}$ ．

(1)、求∠ACB的大小；

(2)、求四边形ABCD的面积．

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19. 某中学组织一支“雏鹰”志愿者服务队，带领同学们利用周末的时间深入居民小区开展一些社会公益活动．现从参加了环境保护和社会援助这两项社会公益活动的志愿者中，随机抽取男生80人，女生120人进行问卷调查（假设每人只参加环境保护和社会援助中的一项），整理数据后得到如下统计表：

女生
男生
合计
环境保护
80
40
120
社会援助
40
40
80
合计
120
80
200
附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.025
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、能否有99％的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关？

(2)、以样本的频率作为总体的概率，若从本校所有参加社会公益活动的女生中随机抽取4人，记这4人中参加环境保护的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和期望．

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20. 如图，一张边长为4的正方形纸片ABCD，E，F分别是AD，BC的中点，将正方形纸片沿EF对折后竖立在水平的桌面上．

(1)、求证： $E F ⊥ A D$ ；

(2)、若二面角 $A - E F - D$ 的平面角为45°，K是线段CF（含端点）上一点，问是否存在点K，使得直线AK与平面CDEF所成角的正切值为 $\frac{1}{3}$ ？若存在，求出CK的长度；若不存在，说明理由．

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21. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0 ， b > 0)$ 的两条渐近线互相垂直，且过点 $D (\sqrt{2} ， 1)$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、设 $P$ 为双曲线的左顶点，直线 $l$ 过坐标原点且斜率不为 $0$ ， $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，直线 $m$ 过 $x$ 轴上一点 $Q$ （异于点 $P$ ），且与直线 $l$ 的倾斜角互补， $m$ 与直线 $P A$ ， $P B$ 分别交于 $M ， N$ （ $M ， N$ 不在坐标轴上）两点，若直线 $O M$ ， $O N$ 的斜率之积为定值，求点 $Q$ 的坐标．

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22. 已知 $f (x) = e^{x} - a \cdot \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，分别求 $n = 1$ 和 $n = 2$ 的 $f (x)$ 的单调性；

(2)、求证：当 $a = 1$ 时， $f (x) = 0$ 有唯一实数解 $x = 0$ ；

(3)、若对任意的 $x \geq 0$ ， $n \in N^{*}$ 都有 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求a的取值范围．

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	女生	男生	合计
环境保护	80	40	120
社会援助	40	40	80
合计	120	80	200

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	5.024	6.635	7.879	10.828