河北省沧州市新华区2023届高三上学期数学12月调研试卷

试卷更新日期：2023-01-11 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单选题

1. 设集合 $M = {x | 0 < x < 3}$ ， $N = {x | \frac{1}{3} \leq x \leq 6}$ ，则 $(∁_{R} M) \cap N =$ （）

A、 ${x | 0 < x \leq 6}$ B、 ${x | \frac{1}{3} \leq x < 3}$ C、 ${x | 3 < x \leq 6}$ D、 ${x | 3 \leq x \leq 6}$

查看试题解析
2. 复数 $z = \frac{4 i}{1 + i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 2 - 2 i$ B、 $- 2 + 2 i$ C、 $2 + 2 i$ D、 $2 - 2 i$

查看试题解析
3. 某校高三年级的700名学生中，男生有385名，女生有315名．从中抽取一个容量为 $60$ 的样本，则抽取男生和女生的人数分别为（）

A、31、29 B、32、28 C、33、27 D、34、26

查看试题解析
4. 六名志愿者到北京、延庆、张家口三个赛区参加活动，若每个赛区两名志愿者，则安排方式共有（）

A、15种 B、90种 C、540种 D、720种

查看试题解析
5. 若直线 $x - y + 1 = 0$ 与圆 ${(x - a)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 没有公共点，则实数a的取值范围是（）

A、（－4 $\sqrt{2}$ ， 4 $\sqrt{2}$ ） B、（－2 $\sqrt{2}$ ， 2 $\sqrt{2}$ ） C、（－∞，－4 $\sqrt{2}$ ）U（4 $\sqrt{2}$ ，＋∞） D、 $(- \infty ， - 2 \sqrt{2}) ∪ (2 \sqrt{2} ， + \infty)$

查看试题解析
6. 第24届冬季奥运会举行期间，安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆，国家速滑馆，首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的方案种数为（）

A、18 B、16 C、14 D、12

查看试题解析
7. $\forall x > 0$ 满足 $e^{x} - 1 > a x$ ，则实数a的取值范围为（）

A、 $a < 1$ B、 $0 < a < 1$ C、 $0 < a \leq 1$ D、 $a \leq 1$

查看试题解析
8. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $\frac{{(a_{n + 1} - 1)}^{2}}{a_{n + 1}} = \frac{{(a_{n} + 1)}^{2}}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a_{n} > 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 是单调递减数列 B、若 $0 < a_{n} < 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 是单调递增数列 C、 $a_{1} = 2$ 时， $a_{n + 1} + \frac{1}{a_{n + 1}} > 2 + 4 n$ D、 $a_{1} = \frac{1}{2}$ 时， $a_{n + 1} + \frac{1}{a_{n + 1}} < 2 + 4 n$

查看试题解析

二、多选题

9. 若 $A_{i} (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n)$ 是 $△ A O B$ 所在的平面内的点，且 $\vec{O A_{i}} \cdot \vec{O B} = \vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 下面给出的四个命题中，其中正确的是（）

A、 $| \vec{O A_{1}} | + | \vec{O A_{2}} | + ⋯ + | \vec{O A_{n}} | = | \vec{O A} |$ B、 $\vec{A A_{i}} \cdot \vec{O B} = 0$ C、点 $A$ ､ $A_{1}$ ､ $A_{2}$ … $A_{n}$ 一定在一条直线上 D、 $\vec{O A}$ ､ $\vec{O A_{i}}$ 在向量 $\vec{O B}$ 方向上的投影一定相等

查看试题解析
10. 若函数 $y = f (x)$ 的图象上存在两点，使得 $f (x)$ 的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 $y = f (x)$ 具有T性质.下列函数中具有T性质的是（）

A、 $y = s i n^{2} x$ B、 $y = t a n x$ C、 $y = | \frac{x - 1}{x + 2} |$ ， $x \in (- 2 ， + \infty)$ D、 $y = e^{x} - l n x$

查看试题解析
11. 已知直线 $l$ ： $y = k (x - \frac{p}{2})$ 与抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 相交于A，B两点，点A在x轴上方，点 $M (- 1 ， - 1)$ 是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（）

A、 $p = 2$ B、 $k = - 2$ C、 $M F ⊥ A B$ D、 $\frac{| F A |}{| F B |} = \frac{2}{5}$

查看试题解析
12. 如图所示，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D_{1}$ ，点 $E$ 是棱 $C D$ 上的一个动点，给出下列命题，其中真命题的是（）

A、三棱锥 $B - A E C_{1}$ 的体积恒为定值 B、存在唯一的点 $E$ ，使得截面 $△ A E C_{1}$ 的周长取得最小值 C、不存在点 $E$ ，使得 $B D_{1} ⊥$ 平面 $A E C_{1}$ D、若点 $E$ 满足 $C E > D E$ ，则在棱 $D D_{1}$ 上存在相应的点 $G$ ，使得 $A_{1} G / /$ 平面 $A E C_{1}$

查看试题解析

三、填空题

13. 若 $(x^{4} + 1) {(x + \frac{a}{\sqrt[3]{x}})}^{6}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为224，则正实数 $a$ 的值为．

查看试题解析
14. 2022年北京冬奥会即将开幕，某校4名学生报名担任志愿者.将这4名志愿者分配到3个比赛场馆，每个比赛场馆至少分配一名志愿者，则所有分配方案共有种.（用数字作答）

查看试题解析
15. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左焦点为F，M是该双曲线一条渐近线上的点，且 $O M ⊥ M F$ ， O为坐标原点，若 $△$ OMF的面积为4，则双曲线C的离心率为．

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = | l n (x + 1) | ， x_{1} < 0 ， x_{2} > 0$ ，函数 $f (x)$ 的图象在点 $A (x_{1} ， f (x_{1}))$ 和点 $B (x_{2} ， f (x_{2}))$ 的两条切线互相垂直，且分别交 $x$ 轴于 $M ， N$ 两点，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} =$ ， $\frac{| A M |}{| B N |}$ 的取值范围是．

查看试题解析

四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的首项为2，且 $a_{1}$ ， $2 + a_{2}$ ， $4 + a_{7}$ 成等比数列.数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2^{n} - 1$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

查看试题解析
18. 在① $\frac{b}{a} = \frac{\cos B + 1}{\sqrt{3} \sin A}$ ，② $2 b \sin A = a \tan B$ ，③ $(a - c) \sin A + c \sin (A + B) = b \sin B$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若______.

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $a + c = 4$ ，求 $△ A B C$ 周长的最小值，并求出此时 $△ A B C$ 的面积.

查看试题解析
19. 长江是我国第一大河，永葆长江生机活力是事关中华民族伟大复兴和永续发展的千秋大计.2020年1月1日起实施的10年全年禁渔令，是我国保护长江的百年大计，是保护后代子孙生活环境的重大举措.某科研机构发现：在理想状态下，鱼群数量 $y$ 随时间 $t$ 的增长满足指数模型： $y = a e^{b t}$ ，其中 $a$ 表示初始时刻的鱼群数量， $b$ 表示鱼群的增长率.该科研机构在某个监测站从2021年1月到2021年7月每个月测一次数据，数据整理如下：
时间 $t$ （单位：月）
1
2
3
4
5
6
7
鱼群数量 $y$ （单位：千克）
8
10
14
24
41
76
93
参考数据
$\bar{y}$
$\bar{v}$
$\sum_{i = 1}^{7} t_{i} y_{i}$
$\sum_{i = 1}^{7} t_{i} v_{i}$
$e^{0.45}$
$e^{1.45}$
38
$3.25$
1478
$103.60$
$1.57$
$4.26$
其中 $v_{i} = l n y_{i} ， \hat{v} = \frac{1}{7} \sum_{i = 1}^{n} v_{i}$ 参考公式：对于一组数据 $(u_{1} ， v_{1}) ， (u_{2} ， v_{2}) ， ⋯ ， (u_{n} ， v_{n})$ ，其回归直线 $\hat{v} = \hat{a} + \hat{β} u$ 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}} ， \hat{a} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$

(1)、根据上表与参考数据，建立理相状态下鱼群的数量 $y$ 关于时间 $t$ 的回归方程；

(2)、科研机构认为在实际状态下鱼群的增长率 $b$ 与某个环境指标 $x (x \in (0 ， 2 π))$ 满足关系： $b = - \frac{s i n x + c o s x}{x} + c$ （其中 $c$ 与每年禁渔的总时间 $d$ （单位：月） $(0 ⩽ d ⩽ 12 ， d \in N)$ 有关， $c = \frac{d}{12} - 1$ .）
（i）在2020年起实施全年禁渔令以后，若希望鱼群数量增加，如何控制环境指标 $x$ 的取值范围？
（ii）在2020年之前，长江每年的禁渔时长为3个月，请说明我国在2020年起实施全年禁渔令的科学性.

查看试题解析
20. 如图，在多面体ABCEF中， $△ A B C$ 和 $△ A C E$ 均为等边三角形，D是AC的中点， $E F / / B D$ ．

(1)、证明： $A C ⊥ B F$ ．

(2)、若平面 $A B C ⊥$ 平面ACE，求二面角 $A - B C - E$ 的余弦值.

查看试题解析
21. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0 ， b > 0)$ 的两条渐近线互相垂直，且过点 $D (\sqrt{2} ， 1)$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、设 $P$ 为双曲线的左顶点，直线 $l$ 过坐标原点且斜率不为 $0$ ， $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，直线 $m$ 过 $x$ 轴上一点 $Q$ （异于点 $P$ ），且与直线 $l$ 的倾斜角互补， $m$ 与直线 $P A$ ， $P B$ 分别交于 $M ， N$ （ $M ， N$ 不在坐标轴上）两点，若直线 $O M$ ， $O N$ 的斜率之积为定值，求点 $Q$ 的坐标．

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = (x - 1) l n x - k$ .

(1)、当 $k = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $[1 ， e]$ 上的最值；

(2)、若函数 $g (x) = \frac{| f (x) + l n x |}{e^{x}}$ 在 $[1 ， e]$ 上单调递减，求实数 $k$ 的取值范围.

查看试题解析

时间 $t$ （单位：月）	1	2	3	4	5	6	7
鱼群数量 $y$ （单位：千克）	8	10	14	24	41	76	93

$\bar{y}$	$\bar{v}$	$\sum_{i = 1}^{7} t_{i} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{7} t_{i} v_{i}$	$e^{0.45}$	$e^{1.45}$
38	$3.25$	1478	$103.60$	$1.57$	$4.26$