河北省沧州市海兴县2023届高三上学期数学12月调研试卷

试卷更新日期：2023-01-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | x^{2} - x - 2 > 0}$ ， $N = {- 2 ， 0 ， 1 ， 2 ， 5}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、 ${- 2 ， 5}$ C、 ${- 2 ， 2 ， 5}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 已知复数z满足： $z (1 + i) = i$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\frac{i}{2}$

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3. 某高校甲､乙两位同学大学四年选修课程的考试成绩等级（选修课的成绩等级分为1，2，3，4，5，共五个等级）的条形图如图所示，则甲成绩等级的中位数与乙成绩等级的众数分别是（）

A、3，5 B、3，3 C、3.5，5 D、3.5，4

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4. 若x，y，z为非零实数，则“ $x < y < z$ ”是“ $x + y < 2 z$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则下列四个结论中正确的是（）

A、若 $x \in [- \frac{π}{2} ， 0]$ ，则函数f(x)的值域为 $[- 1 ， \frac{1}{2}]$ B、点 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ 是函数f（x）图象的一个对称中心 C、函数f（x）在区间 $[- \frac{π}{2} ， 0]$ 上是增函数 D、函数f（x）的图象可以由函数 $y = c o s 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到

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6. 已知点 $A (- 1 ， 2)$ ， $B (1 ， 0)$ ， $C (1 ， - 2)$ ， $D (4 ， 2)$ ，则向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{C D}$ 夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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7. $\forall x > 0$ 满足 $e^{x} - 1 > a x$ ，则实数a的取值范围为（）

A、 $a < 1$ B、 $0 < a < 1$ C、 $0 < a \leq 1$ D、 $a \leq 1$

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8. 已知函数 $f (x) = 2^{x} | 2^{x} - a |$ ，若 $0 \leq x \leq 1$ 时 $f (x) \leq 1$ ，则实数a的取值范围为（）

A、 $[\frac{7}{4} ， 2]$ B、 $[\frac{5}{3} ， 2]$ C、 $[\frac{3}{2} ， 2]$ D、 $[\frac{3}{2} ， \frac{5}{3}]$

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二、多选题

9. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $⋯$ ， $a_{9}$ ，设数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，它的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} = 18$ ， $a_{4} + a_{6} = 90$ ，则（）

A、 $a_{1} = 6$ B、 ${a_{n}}$ 的公差为9 C、 $a_{6} = 3 a_{3}$ D、 $S_{9} = 405$

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10. 已知函数 $f (x) = x^{2} e^{x - 2} + l n x - 2$ 的零点为 $x_{0}$ ，则（）

A、 $e^{2 - x_{0}} + l n x_{0} + 3$ 的值为5 B、 $e^{2 - x_{0}} + l n x_{0} + 3$ 的值为4 C、 $x_{0} \in (1 ， \frac{3}{2})$ D、 $x_{0} \in (\frac{3}{2} ， 2)$

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11. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，左、右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， P为双曲线的左支上一点，且直线 $P A_{1}$ 与 $P A_{2}$ 的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（）

A、双曲线 $C$ 的离心率为2 B、若 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，且 $S_{△ P F_{1} F_{2}} = 3$ ，则 $a = 2$ C、以线段 $P F_{1}$ ， $A_{1} A_{2}$ 为直径的两个圆外切 D、若点P在第二象限，则 $∠ P F_{1} A_{2} = 2 ∠ P A_{2} F_{1}$

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，P，Q分别为棱 $A_{1} D_{1}$ ， $D_{1} C_{1}$ 的中点，M为线段BD上的动点，则（）

A、 $P Q ∥ B C$ B、 $P Q ⊥ B_{1} M$ C、三棱锥 $P - Q M B_{1}$ 的体积为定值 D、M为BD的中点时，则二面角 $M - P Q - B_{1}$ 的平面角为60°

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三、填空题

13. 若 $(x^{4} + 1) {(x + \frac{a}{\sqrt[3]{x}})}^{6}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为224，则正实数 $a$ 的值为．

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14. 2022年北京冬奥会即将开幕，某校4名学生报名担任志愿者.将这4名志愿者分配到3个比赛场馆，每个比赛场馆至少分配一名志愿者，则所有分配方案共有种.（用数字作答）

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15. 已知点M的坐标为（2，0），AB是圆O： $x^{2} + y^{2} = 1$ 的一条直径，则 $\vec{M A} \cdot \vec{M B} =$ ．

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16. 九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N^*）个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a₁＝1，且an＝ ${\begin{array}{l} 2 a_{n - 1} - 1 ， n 为偶数 \\ 2 a_{n - 1} + 2 ， n 为奇数 \end{array}$ ，则解下n（n为奇数）个环所需的最少移动次数为.（用含n的式子表示）

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的首项为2，且 $a_{1}$ ， $2 + a_{2}$ ， $4 + a_{7}$ 成等比数列.数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2^{n} - 1$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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18. 设a，b，c分别是 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边， $(\sin B - \sin C) b = (a - c) (\sin A + \sin C)$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分．
①设角A的角平分线交BC边于点D，且 $A D = 1$ ，求 $△ A B C$ 面积的最小值．

②设点D为BC边上的中点，且 $A D = 1$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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19. 某统计部门依据《中国统计年鉴——2017》提供的数据，对我国1997-2016年的国内生产总值（GDP）进行统计研究，作出了两张散点图：图1表示1997-2016年我国的国内生产总值（GDP），图2表示2007-2016年我国的国内生产总值（GDP）．

(1)、用 $r_{i} (i = 1 ， 2)$ 表示第i张图中的年份与GDP的线性相关系数， $r_{i} \in {0.9647 ， 0.9980}$ ，依据散点图的特征分别写出 $r_{i}$ 的结果；

(2)、分别用线性回归模型和指数回归模型对两张散点图进行回归拟合，分别计算出统计数据——相关指数 $R^{2}$ 的数值，部分结果如下表所示：
年份
1997-2016
2007-2016
线性回归模型
0.9306
指数回归模型
0.9899
0.978
①将上表中的数据补充完整（结果保留3位小数，直接写在答题卡上）；
②若估计2017年的GDP，结合数据说明采用哪张图中的哪种回归模型会更精准一些？若按此回归模型来估计，2020年的GDP能否突破100万亿元？事实上，2020年的GDP刚好突破了100万亿元，估计与事实是否吻合？结合散点图解释说明.

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20. 如图，一张边长为4的正方形纸片ABCD，E，F分别是AD，BC的中点，将正方形纸片沿EF对折后竖立在水平的桌面上．

(1)、求证： $E F ⊥ A D$ ；

(2)、若二面角 $A - E F - D$ 的平面角为45°，K是线段CF（含端点）上一点，问是否存在点K，使得直线AK与平面CDEF所成角的正切值为 $\frac{1}{3}$ ？若存在，求出CK的长度；若不存在，说明理由．

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21. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）， $A$ 、 $B$ 分别为椭圆 $E$ 的左、右顶点.点 $M (4 ， 0)$ ， $O$ 为坐标原点，椭圆长轴长等于 $| O M |$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过 $M$ 作垂直于 $x$ 轴的直线 $l$ ， $P$ 为 $l$ 上的一个动点， $P A$ 与椭圆 $E$ 交与点 $C$ ， $P B$ 与椭圆 $E$ 交与点 $D$ .求证：直线 $C D$ 过定点.

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22. 已知函数 $f (x) = 2 x - \frac{2}{x} - a l n x (a \in R)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $x_{1} \in (1 ， e]$ （ $e$ 为自然对数底数，且 $e = 2.71828 ⋯$ ），求 $f (x_{1}) - f (x_{2})$ 的取值范围．

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年份	1997-2016	2007-2016
线性回归模型	0.9306
指数回归模型	0.9899	0.978