广西壮族自治区河池市、来宾市、百色市、南宁市2022-2023学年高三上学期文数联合调研考试试卷

试卷更新日期：2023-01-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2} ， B = {x | 2 x \geq - 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 2}$ B、 ${- 1 ， 1 ， 2}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 设 $(1 + i) z = i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $- 1 + i$ D、 $1 + i$

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3. 在区间[－2，2]内随机取一个数x，使得不等式 $x^{2} + 2 x < 0$ 成立的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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4. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F (2 ， 0)$ ，一条渐近线方程为 $y = \sqrt{3} x$ ，则C的方程为（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$

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5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $24 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} π$ B、 $24 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} π$ C、 $24 - 2 \sqrt{3} π$ D、 $24 - 6 \sqrt{3} π$

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6. 已知正项等比数列 ${a_{n}$ }满足 $a_{3}$ 为 $2 a_{2}$ 与 $a_{6}$ 的等比中项，则 $\frac{a_{3} + a_{5}}{a_{1} + a_{3}} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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7. 圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 = 0$ 上一点P到直线 $l ： 2 x - y + 8 = 0$ 的最大距离为（）

A、2 B、4 C、2 $\sqrt{5}$ D、3 $\sqrt{5}$

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8. 已知函数 $f (x) = 2 s i n^{2} x + \sqrt{3} c o s (2 x - \frac{π}{2}) - 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的一条对称轴为 $x = \frac{π}{12}$ B、 $f (x)$ 的一个对称中心为 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ C、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{12} ， \frac{5 π}{12}]$ 上的值域为 $[- \sqrt{3} ， 2]$ D、 $f (x)$ 的图象可由 $y = 2 s i n 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到

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9. $f (x)$ 是定义在R上的函数， $f (x + \frac{1}{2}) + \frac{1}{2}$ 为奇函数，则 $f (2023) + f (- 2022) =$ （）

A、－1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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10. 牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为 $T_{0}$ ，则经过一定时间t分钟后的温度T满足 $T - T_{a} = {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{h}} (T_{0} - T_{a})$ ， $h$ 称为半衰期，其中 $T_{a}$ 是环境温度.若 $T_{a} = 2 5^{∘} C$ ，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么此杯热水水温从75℃降至45℃大约还需要（参考数据： $l g 2 \approx 0.30 ， l g 11 \approx 1.04$ ）（）

A、10分钟 B、9分钟 C、8分钟 D、7分钟

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11. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ）的焦点为 $F$ ，准线为l，过 $F$ 的直线与抛物线交于点A、B，与直线l交于点D，若 $\vec{A F} = 3 \vec{F B} ， | \vec{B D} | = 4$ ，则p=（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、3

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12. 已知 $a = \frac{9}{2} l o g_{3} e ， b = \frac{8}{3} l o g_{2} e ， c = \frac{e^{2}}{2}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $c > a > b$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， m) ， \vec{b} = (1 ， 2)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则m=.

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14. 近年来，“考研热”持续升温，2022年考研报考人数官方公布数据为457万，相比于2021年增长了80万之多，增长率达到21%以上.考研人数急剧攀升原因较多，其中，本科毕业生人数增多、在职人士考研比例增大，是两大主要因素.据统计，某市各大高校近几年的考研报考总人数如下表：
年份
2018
2019
2020
2021
2022
年份序号x
1
2
3
4
5
报考人数y（万人）
1. 1
1.6
2
2.5
m
根据表中数据，可求得y关于x的线性回归方程为 $\hat{y} = 0.43 x + 0.71$ ，则m的值为.

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15. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和.若 $S_{3} = 9 ， S_{6} = 36$ ，则 $S_{12}$ =.

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16. 已知棱长为8的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E为棱BC上一点，满足 $\vec{B E} = \frac{1}{4} \vec{B C}$ ，以点E为球心， $\sqrt{10}$ 为半径的球面与对角面 $B D D_{1} B_{1}$ 的交线长为.

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三、解答题

17. 4月23日是“世界读书日”，读书可以陶冶情操，提高人的思想境界，丰富人的精神世界，为了丰富校园生活，展示学生风采，某中学在全校学生中开展了“阅读半马比赛”活动. 活动要求每位学生在规定时间内阅读给定书目，并完成在线阅读检测.通过随机抽样，得到100名学生的检测得分（满分：100分）如下：

[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
男生
2
3
5
15
18
12
女生
0
5
10
10
7
13
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k₀
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、若检测得分不低于70分的学生称为“阅读爱好者”，若得分低于70分的学生称为“非阅读爱好者”.根据所给数据
①完成下列 $2 \times 2$ 列联表

阅读爱好者
非阅读爱好者
总计
男生
女生
总计
""
②请根据所学知识判断是否有95%的把握认为“阅读爱好者”与性别有关；

(2)、若检测得分不低于80分的人称为“阅读达人”.现从这100名学生中的男生“阅读达人”中，按分层抽样的方式抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，求这3人中至少有1人得分在[90，100]内的概率.

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18. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\frac{3 (s i n B - s i n A)}{s i n C} = \frac{3 c - 2 a}{b + a}$ .

(1)、求 $c o s B$ .

(2)、若点D在边AC上，且 $A D = 2 D C ， B D = \frac{2}{3} b$ ，求 $\frac{a}{c}$ .

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19. 在三棱锥 $P - A B C$ 中，底面ABC是边长为2的等边三角形，点P在底面ABC上的射影为棱BC的中点O，且PB与底面ABC所成角为 $\frac{π}{3}$ ，点M为线段PO上一动点.

(1)、证明： $B C ⊥ A M$ ；

(2)、若 $\frac{P M}{M O} = \frac{1}{2}$ ，求点M到平面PAB的距离.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{a x}} ， g (x) = l n x - a x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若关于x的方 $f (x) + g (x) =$ 1有两个不同的实根，求实数a的取值范围.

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21. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，依次连接椭圆E的四个顶点构成的四边形面积为 $4 \sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆E的标准方程；

(2)、设点F为E的右焦点， $A (- 2 ， 0)$ ，直线l交E于P，Q（均不与点A重合）两点，直线 $l ， A P ， A Q$ 的斜率分别为 $k ， k_{1} ， k_{2}$ ，若 $k k_{1} + k k_{2} + 3 = 0$ ，求△FPQ的周长

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22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 1 + t \\ y = 1 + t \end{array}$ （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ = \sqrt{\frac{6}{c o s 2 θ + 2}}$ .

(1)、求曲线C的直角坐标方程；

(2)、若直线l与曲线C交于A，B两点，求 $| A B |$ .

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23. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 2 a x + a^{2}} + | x - 2 a + 1 | ， a \in R ，$

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若对 $\forall m \in (0 ， 6) ， \forall x \in R ，$ ，不等式 $f (x) > m \sqrt{12 - 2 m}$ 恒成立，求a的取值范围.

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年份	2018	2019	2020	2021	2022
年份序号x	1	2	3	4	5
报考人数y（万人）	1. 1	1.6	2	2.5	m

	[40，50）	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]
男生	2	3	5	15	18	12
女生	0	5	10	10	7	13

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	阅读爱好者	非阅读爱好者	总计
男生
女生
总计		""