甘肃省武威市凉州区2022-2023学年高三上学期理数第二次质量检测考试试卷

试卷更新日期：2023-01-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $M = {x | - 2 < x < 3} ， N = {x | - 1 \leq x \leq 5}$ ，则 $M \cup N =$ （　　）

A、 ${x | - 1 \leq x < 3}$ B、 ${x | - 2 < x < 3}$ C、 ${x | - 2 \leq x \leq 5 |$ D、 ${x | - 2 < x \leq 5}$

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2. 若 $\frac{2 z \cdot i}{1 + i} = \bar{z} (i - 1)$ ，则复数 $z$ 可能为（）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $2 + i$ D、 $1 + 2 i$

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3. 命题“ $\forall x \in R$ ， $| x | + 1 \geq 1$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \notin R$ ， $| x | + 1 < 1$ B、 $\exists x \in R$ ， $| x | + 1 < 1$ C、 $\forall x \in R$ ， $| x | + 1 < 1$ D、 $\exists x \in R$ ， $| x | + 1 \geq 1$

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4. 函数 $f (x) = \sqrt{2^{x} - 1} + \frac{1}{\sqrt{9 - x^{2}}}$ 的定义域为（）

A、 $(- 3 ， 0] \cup (3 ， + ∞)$ B、 $(- 3 ， 0) ∪ (0 ， 3)$ C、 $[0 ， 3)$ D、 $(0 ， 3)$

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5. 将函数 $y = s i n (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象上所有点向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，可得图象的函数解析为（）

A、 $y = s i n (2 x + \frac{π}{3})$ B、 $y = s i n (2 x - \frac{2}{3} π)$ C、 $y = s i n (2 x + \frac{π}{12})$ D、 $y = s i n (2 x - \frac{5 π}{12})$

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6. 已知 $c o s (\frac{π}{3} - α) = \frac{3}{5}$ ，则 $s i n (α + \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\pm \frac{4}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $\vec{A N} = \frac{1}{2} \vec{A C} ， P$ 是 $B N$ 的中点，若 $\vec{A P} = m \vec{A B} + n \vec{A C}$ ，则 $m + n =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8. 记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 （ a_{n} - 1)$ ，则 $a_{2} =$ （）

A、 $4$ B、 $2$ C、 $1$ D、 $- 2$

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9. 设 $a = 0 . 5^{0.4}$ ， $b = 0 . 4^{0.5}$ ， $c = l o g_{0.5} 0.4$ ，则下列不等关系成立的是（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $b > a > c$ D、 $c > a > b$

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10. 若 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $2 x + 3 y = 6$ ，则xy的最大值为（）

A、9 B、6 C、3 D、 $\frac{3}{2}$

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11. 已知 $△ A B C$ 中， $a$ ､ $b$ ､ $c$ 分别是角 $A$ ､ $B$ ､ $C$ 所对的边，已知 $b c = b^{2} - 2 c^{2}$ ，若 $a = \sqrt{3}$ ， $c o s A = \frac{3}{4}$ ，则 $△ A B C$ 的面积等于（）

A、 $\frac{15}{4}$ B、 $\frac{3 \sqrt{7}}{4}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{7}}{8}$

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12. 已知 $p$ ： $\frac{x - 2}{1 - x} \geq 0$ ， $q$ ： $x - a < 0$ .若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(2 ， + ∞)$ B、 $[2 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 1)$ D、 $(- \infty ， 1]$

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二、填空题

13. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} y + 2 \geq 0 \\ x - y - 1 \geq 0 \\ x + y - 5 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = x - 2 y$ 的最小值为．

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14. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 3) ， \vec{b} = (1 ， m)$ ，若 $(2 \vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $m =$ .

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15. 已知等比数列 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 满足 $8 a_{6} a_{7} = a_{8}^{2}$ ，那么 ${a_{n}}$ 的公比 $q =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (2 x + φ) (0 < φ < π)$ 的图象关于直线 $x = π$ 对称，则有如下四个命题：
① $f (x)$ 是奇函数；
② $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ ；
③ $f (x)$ 的一个对称中心是 $(- 2 π ， 0)$ ；
④ $f (x)$ 的一个递增区间是 $(2 ， 3)$ .
其中所有正确命题的序号是.

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三、解答题

17. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 3 ， a_{5} = 81$ .

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = \log_{3} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 已知函数 $f (x) = 2 c o s^{2} x + 2 \sqrt{3} s i n x c o s x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(3)、当 $x \in [\frac{π}{6} ， \frac{π}{2}]$ 时，求 $y = f (x)$ 的值域．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公比为2的等比数列，且 $a_{3}$ 是 $a_{1}$ 与 $a_{4} - 1$ 的等差中项.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式及前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{l o g_{2} a_{n + 1} \cdot l o g_{2} a_{n + 2}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\sqrt{3} a = 2 c s i n A$ ．

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $c = \sqrt{7}$ ，且 $a b = 6$ ，求△ABC的周长．

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21. 定义在 $(- 1 ， 1)$ 上的函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ ，满足 $f (x) + g (- x) = 0$ ，且 $g (x) = l o g_{a} \frac{1 + x}{2}$ ，其中 $a > 1$ .

(1)、若 $f (\frac{1}{2}) = 2$ ，求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若不等式 $f (x) > 1$ 的解集为 $(- \frac{1}{3} ， m)$ ，求 $m - a$ 的值.

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22. 已知函数 $f (x) = a x + l n x$

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处曲线的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间.

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