安徽省鼎尖名校联盟2023届高三上学期数学12月联考试卷

试卷更新日期：2023-01-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合P={x|x是平行四边形}，Q={x|x是矩形}，R={x|x是菱形}，S={x|x是正方形}，则 $Q ∩ R =$ （）

A、P B、Q C、R D、S

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2. 设命题p： $\forall x \in R$ ， $q_{1} (x) > q_{2} (x)$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists x_{0} \in R$ ， $q_{1} (x_{0}) > q_{2} (x_{0})$ B、 $\exists x_{0} \in R$ ， $q_{1} (x_{0}) \leq q_{2} (x_{0})$ C、 $\forall x \in R$ ， $q_{1} (x) \leq q_{2} (x)$ D、 $\forall x \in R$ ， $q_{1} (x) < q_{2} (x)$

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3. 如图是函数 $f (x) = c o s (ω x + φ) (ω > 0)$ 的部分图象，则 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{90} ， \frac{22 π}{45}]$ 上的值域为（）

A、 $[- 1 ， 1]$ B、 $[\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$ C、 $[- 1 ， \frac{1}{2}]$ D、 $[- 1 ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$

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4. 过坐标原点且与曲线 $y = \frac{l n x}{x}$ 相切的直线斜率为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2 e}$ C、 $\frac{1}{e}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5. 如图，中国古代建筑的举架结构的纵截面示意图，其中的线段 $D D_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $B B_{1}$ ， $A A_{1}$ 都是竖直放置的，线段 $O D_{1}$ ， $D C_{1}$ ， $C B_{1}$ ， $B A_{1}$ 都是水平放置的，且 $O D_{1} = D C_{1} = C B_{1} = B A_{1}$ .令 $\frac{C C_{1}}{D C_{1}} = k_{1}$ ， $\frac{B B_{1}}{C B_{1}} = k_{2}$ ， $\frac{A A_{1}}{B A_{1}} = k_{3}$ ，若 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ 成公差为0.15的等差数列，且直线 $O A ， O D$ 的斜率分别为0.75，0.45，则 $k_{1} k_{2} k_{3} =$ （）

A、0.595 B、2.55 C、1.6 D、0.7225

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{3}{5}}$ ，若当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $f (x) + f (\frac{a}{x} - 2 \sqrt{3}) > 0$ 恒成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0 ， + ∞)$ B、 $(- \infty ， 2)$ C、 $(3 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 1)$

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7. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 B C = 2 A A_{1} = 2$ ，则BD与平面 $A_{1} B_{1} C D$ 所成的正弦值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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8. 如图，二次函数 $y = x^{2} - 2 x$ 的图象为曲线 $E$ ，过 $E$ 上一点P（位于x轴下方）作 $E$ 的切线 $l$ 与 $x$ 的正半轴， $y$ 的负半轴分别交于 $B ， C$ 点，当 $l ， E ， x$ 轴及 $y$ 轴围成阴影部分的面积取得最小值时，P到x轴的距离为（）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{15}{16}$

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二、多选题

9. 已知实数 $a ， b$ 满足 $a > b > 0$ 且 $a + b = 2$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $a^{2} + b^{2} > 2$ B、 $\frac{8}{a} + \frac{2}{b} \geq 9$ C、 $l n a + l n b > 0$ D、 $a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}$

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10. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $2$ ，动点 $P$ 在正方形内部及边上运动， $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ ，则下列结论正确的有（）

A、点 $P$ 在线段 $B C$ 上时， $\vec{A B} \cdot \vec{A P}$ 为定值 B、点 $P$ 在线段 $C D$ 上时， $\vec{A B} \cdot \vec{A P}$ 为定值 C、 $λ + μ$ 的最大值为 $2$ D、使 $λ + 2 μ = \frac{1}{2}$ 的 $P$ 点轨迹长度为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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11. 古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从A点走向B点，要先走完总路程的三分之一，再走完剩下路程的三分之一，如此下去，会产生无限个“剩下的路程”，因此他有无限个“剩下路程的三分之一”要走，这个人永远走不到终点，由于古代人们对无限认识的局限性，故芝诺得到了错误的结论.设 $| A B | = S$ ，这个人走的第n段距离为 $a_{n}$ ，这个人走的前n段距离总和为 $S_{n}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $\forall n \in N^{*}$ ，使得 $a_{n + 1} = \frac{2 (S - S_{n})}{3}$ B、 $\forall n \in N^{*}$ ，使得 $a_{n + 1} = \frac{2}{3} a_{n}$ C、 $\forall n \in N^{*}$ ，使得 $\frac{S_{n}}{S} = 1 - {(\frac{2}{3})}^{n}$ D、 $\exists n \in N^{*}$ ，使得 $\frac{S_{n}}{S} = 1$

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12. 已知正四棱台上､下底面的面积分别为2和8，高为 $h (h > 0)$ ，则下列结论正确的有（）

A、正四棱台外接球的表面积的最小值为 $16 π$ B、当 $h \in (0 ， \sqrt{3})$ 时，正四棱台外接球球心在正四棱台下底面下方 C、正四棱台外接球的半径随 $h$ 的增大而增大 D、当 $h = 2$ 时，正四棱台存在内切球

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三、填空题

13. 假设某地2022年年初的物价为1，每年以5%的增长率递增，则2030年年底物价的数值为.

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14. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ （平面 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 为下底面）中， $2 A A_{1} = 3 A D = 6$ ， $A B = 4$ ，点 $F$ 为线段 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则异面直线 $A_{1} D$ 与 $B F$ 所成角的余弦值为.

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15. 在三角形ABC中，已知D，E分别为CA，CB上的点，且 $\vec{A D} = \frac{1}{5} \vec{A C}$ ， $\vec{B E} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ ， AE与BD交于O点，若 $\vec{C O} = m \vec{C A} + n \vec{C B}$ ，则mn的值为.

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16. 已知三棱锥 $V - A B C$ 的高为 $3 ， D ， E ， F$ 分别为 $V C ， V A ， V B$ 的中点，若平面ABD，平面BCE，平面ACF相交于O点，则O到平面ABC的距离h为.

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四、解答题

17. 已知平面向量 $\vec{a} = (x ， - 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 1 - 2 x)$ ， $x \in R$ .

(1)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求x的值；

(2)、若 $\vec{a} = λ \vec{b}$ （ $λ$ 为负实数），求x， $λ$ 的值.

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18. 已知 ${a_{n}}$ 是公差为3的等差数列， ${b_{n}}$ 是公比为2的等比数列，且 $a_{2} - b_{2} = a_{3} - b_{3} + 1 = \frac{b_{4} - a_{4}}{5}$ .

(1)、求 $a_{1}$ ， $b_{1}$ ；

(2)、设 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，将集合 $T = {m | \frac{S_{m}}{m} = b_{n} ， 1 \leq n \leq 6}$ 用列举法表示出来.

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19. 如图，四边形ABCD为正方形，平面 $D E F B ⊥$ 平面ABCD， $E D ⊥ B D$ ， $F B ⊥ B D$ ， $A B = E D = 2 F B = 2 a (a > 0)$ .

(1)、求三棱锥 $F - A C E$ 的体积；

(2)、求平面AEF与平面ABF夹角的正弦值.

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20. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $a^{2} + c^{2} = b^{2} + 2$ ， $c o s^{2} B = \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $c o s A = \frac{3}{5}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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21. 如图，AB是半球的直径，O为球心， $A B = 2$ ， C为半大圆弧的中点，P为同一半大圆弧上的任意一点（异于A，B，C），P在水平大圆面AOB内的射影为Q，过Q作 $Q R ⊥ A B$ 于R，连接PR，OP.

(1)、若C，P为不同的两点，求证： $O C / / P R$ ；

(2)、若半大圆面ACB与水平大圆面夹角大小为 $\frac{π}{3}$ ，求三棱锥 $P - O Q R$ 体积的取值范围.

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22. 设函数 $f (x) = e^{x} c o s x$ ， $g (x) = \frac{a c o s x}{e^{2 x}}$ ， $x \in [0 ， \frac{π}{3}]$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小值，并证明： $e^{\frac{π}{12}} < \sqrt{2}$ ；

(2)、若不等式： $g (x) \geq 2 - e^{3 x}$ 成立，求实数a的取值范围.

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