鲁教版（五四学制）2022-2023学年七年级数学下册8.2 证明的必要性同步测试

试卷更新日期：2023-01-10 类型：同步测试

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一、单选题

1. 如图是测量一个铁球体积的过程：①将300mL的水倒进一个容量为500mL的杯子中；②将四个质量和体积都相同的球放入水中，结果水没满；③再把一个同样的铁球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一个铁球的体积大约是（）

A、 $60 {cm}^{3}$ 以上 B、 $50 {cm}^{3}$ 以上， $60 {cm}^{3}$ 以下 C、 $40 {cm}^{3}$ 以上， $50 {cm}^{3}$ 以下 D、 $30 {cm}^{3}$ 以上， $40 {cm}^{3}$ 以下

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2. 如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力.一个小组尝试将数字 $- 5 ， - 4 ， - 3 ， - 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6$ 这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等.部分数字已填入圆圈中，则a的值为（）

A、 $- 4$ B、 $- 3$ C、3 D、4

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3. 网课期间，琪琪同学花整数元购买了一个手机支架，让同学们猜价格．甲说：“至少20元”，乙说“至多18元”，丙说：“至多15元”．琪琪说：“你们都猜错了．”则这个支架的价格为（）

A、15元 B、18元 C、19元 D、20元

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4. 将一副直角三角尺如图放置，已知∠EAD=∠E=45°，∠C=30°，AE∥BC，求∠AFD的度数，以下是打乱的推理过程：①∵∠E=45°，②∴∠AFD=∠E＋∠EAC=45°＋30°=75°；③∵∠C=30°，AE∥BC，④∴∠EAC=∠C=30°．推理步骤正确的是（）

A、①②③④ B、①④③② C、③④①② D、③②①④

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5. 有三个实数 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ 满足 $a_{1} - a_{2} = a_{2} - a_{3} > 0$ ，若 $a_{1} + a_{3} = 0$ ，则下列判断中正确的是（）

A、 $a_{1} < 0$ B、 $a_{2} > 0$ C、 $a_{1} + a_{2} < 0$ D、 $a_{2} \cdot a_{3} = 0$

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6. 甲、乙、丙3人从图书馆各借了一本书（如下表所示），他们相约在每个星期天相互交换读完的书，经过数次交换后，他们都读完了这3本书．已知甲读的第三本书是乙读的第二本书，则丙读的第二本书是（）
甲
乙
丙
书A
书B
书C

A、书A B、书B C、书C D、无法确定

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7. 在一次数学活动课上，王老师将1～8共八个整数依次写在八张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁四位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：12；乙：11；丙：9；丁：4，则拿到数字5的同学是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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8. 李明、王华、周亮和张红四名同学参加了“华罗庚杯”竞赛选拔赛，王华和张红两个同学的得分和等于周亮和李明的得分和；李明与王华的得分和大于周亮和张红的得分和，张红的得分超过周亮与王华的得分和，则这四位同学的得分由大到小的顺序是（）

A、李明，张红，周亮，王华 B、李明，张红，王华，周亮 C、张红，李明，周亮，王华 D、张红，李明，王华，周亮

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9. 已知三个实数a，b，c满足 $a + b + c \neq 0 ， a = \frac{a + b - c}{2} ， c = \frac{a - b + c}{2}$ ，则下列结论不成立的是（）

A、 $b = 0$ B、 $c = 0$ C、 $a = b$ D、 $a \neq - b$

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10. 有三个角是直角的四边形是矩形．
已知：如图， $∠ A = ∠ B = ∠ C = 90 °$ ．
求证：四边形 $A B C D$ 是矩形．
证明：∵ $∠ A = ∠ B = ∠ C = 90 °$ ，
∴ $∠ A + ∠ B = 180 °$ ， $∠ C + ∠ B = 180 °$ ，
∴ $A D ∥ B C$ ， $A B ∥ D C$ （①），
∵ $∠ B = 90 °$ ，
∴四边形 $A B C D$ 是矩形（②），
在证明过程中，依据①、②分别表示（）

A、①表示同旁内角互补，两直线平行；②表示对角线相等的平行四边形是矩形 B、①表示同旁内角互补，两直线平行；②表示有一个角是直角的平行四边形是矩形 C、①表示两直线平行，同旁内角互补；②表示有一个角是直角的平行四边形是矩形 D、①表示两直线平行，同旁内角互补；②表示对角线相等的平行四边形是矩形

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二、填空题

11. 在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，判断戊同学手里拿的两张卡片上的数字是．

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12. 为鼓励学生居家锻炼，李老师组织线上仰卧起坐接力活动.4人为一组，每人自主设定个人目标（单位：次），组内任意2人之间均需接力一场，且每场接力2人都达到个人目标即停止，记录每场接力成绩（2人所做仰卧起坐次数之和）．小贾、小易、小冰、小丁为一组，他们六场接力成绩由小到大依次为86，92，94，98，100，106．若他们设定的个人目标分别记为a，b，c，d，其中 $b < a < c < d$ ，且 $b + d < a + c$ ．根据以上信息，得到三个结论：① $a + b = 86$ ， $c + d = 100$ ；②六场接力成绩由小到大可以依次表示为： $a + b$ ， $b + c$ ， $b + d$ ， $a + c$ ， $a + d$ ， $c + d$ ；③a，b，c，d的值分别为46，40，52，54．其中正确结论的序号是．

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13. 手工课上，老师将同学们分成A，B两个小组制作两个汽车模型，每个模型先由A组同学完成打磨工作，再由B组同学进行组装完成制作，两个模型每道工序所需时间如下：
工序
时间
模型
打磨（A组）
组装（B组）
模型1
9分钟
5分钟
模型2
6分钟
11分钟
则这两个模型都制作完成所需的最短时间为分钟．

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14. 结合下图，用符号语言表达定理“同位角相等，两直线平行”的推理形式：
∵ ，
∴a∥b．

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15. 某工厂有甲、乙、丙、丁、戊五台车床．若同时启动其中两台车床，加工10000个W型零件所需时间如表：
车床编号
甲、乙
乙、丙
丙、丁
丁、戊
甲、戊
所需时间（h）
13
9
10
12
8
则加工W型零件最快的一台车床的编号是．

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三、解答题

16. 请在下列括号内填上相应步骤或理由．
已知：如图， $A B ∥ C D ， A D ⊥ A C$ ，垂足为A， $∠ 1 = ∠ 2$ ．
试说明： $E F ⊥ A C$ ．
解：因为 $A B ∥ C D$ （已知），
所以 $∠ 1 = ∠ D$ （   ）．
因为 $∠ 1 = ∠ 2$ （已知），
所以 $∠ 2 =$   ▲  （等量代换）．
所以 $E F ∥ A D$ （    ）．
所以 $∠ C E F = ∠ C A D$ （   ）．
因为 $A D ⊥ A C$ （已知），
所以 $∠ C A D = 90 °$ （垂直的定义）．
所以 $∠ C E F = 90 °$ （    ）．
所以 $E F ⊥ A C$ （垂直的定义）．

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17. 已知：如图， $∠ 1 = ∠ 2$ ， $C D = D E$ ， $E F ∥ A B$ ．
请说明 $E F = A C$ 的理由．
理由：过点C作 $C G ∥ E F$ 交AD的延长线于点G，
可得 $∠ E F D =$   ▲  （两直线平行，内错角相等）
∵ $D E = D C$ ， $∠ F D E = ∠ G D C$
∴ $△ E F D ≌$   ▲  （  ）
∴ $E F =$   ▲  （   ）
∵ $E F ∥ A B$ （已知）
∴ $∠ E F D =$   ▲  （   ）
∵ $∠ 1 = ∠ 2$ （已知）
∴  ▲  （    ）
∴ $A C = C G$ （等角对等边）
∵  ▲  （已证）
∴ $E F = A C$ （等量代换）

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18. 如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C ， A B ∥ C D$ ， $M N$ 垂直平分 $A C$ 分别交 $A D$ ， $B C$ 于 $M$ ， $N$ ，求证： $C M = C N$ ．（请你将下面的推理过程中的横线空白处补充完整．）
解：∵ $A D ∥ B C$ （     ）
∴ $∠ D A C = ∠ A C B$ （     ）
∵ $M N$ 垂直平分 $A C$ （已知）
∴ $A O = C O$ （线段垂直平分线的定义）
在 $△ A M O$ 和 $△ C N O$ 中，
${\begin{array}{l} ∠ M A O = ∠ N C O \\ A O = C O \\ ∠ A O M = ∠ C O N (__) \end{array}$ ，
∴ $△ A O M ≌ △ C O N$ （     ）
∴ $A M = C N$ （     ）
又∵ $M N$ 垂直平分 $A C$ （已知）
∴      ▲ （线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
∴ $C M = C N$ （     ）．

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四、综合题

19. 设 $a$ ， $b$ 是两个不相等的正整数， $P$ 为质数，满足 $b^{2} + a = p^{2}$ ，且 $\frac{a^{2} + b}{b^{2} + a}$ 是整数．

(1)、求证： $a > b$ ；

(2)、求 $p$ 的值；

(3)、求 $a$ ， $b$ 的值．

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20. 如图，已知 $A B = C D$ ， AB $∥$ CD， $E$ 、 $F$ 是 $A C$ 上两点，且 $A F = C E$ ．

(1)、证明： $A B E$ ≌ $△ C D F$ ．
证明： $∵ A F = C E$ （已知），
$∴ A F - E F = C E - E F$ （      ）
即 $A E = C F$ ．
∵ $A B ∥ C D$ ，
$∴ ∠ B A C = ∠ D C A$ （      ）
在 $△ A B E$ 和 $△ C D F$ 中，
$A B = C D$ ，
（      ），
$A E = C F$ ，
$∴ A B E$ ≌ $△ C D F$ （      ）

(2)、已知 $∠ A E B = 120 °$ ，求 $∠ D F E$ 的度数．

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21. 已知：点O是直线AB上一点，过点O分别画射线OC，OE，使得 $O C ⊥ O E$ ．

(1)、如图，OD平分 $∠ A O C$ ．若 $∠ B O C = 40 °$ ，求 $∠ D O E$ 的度数．请补全下面的解题过程（括号中填写推理的依据）．
解：∵点O是直线AB上一点，
∴ $∠ A O C + ∠ B O C = 180 °$ ．
∵ $∠ B O C = 40 °$ ，
∴ $∠ A O C = 140 °$ ．
∵OD平分 $∠ A O C$ ．
∴ $∠ C O D = \frac{1}{2} ∠ A O C$ （                  ▲                  ）．
∴ $∠ C O D =$                   ▲                  °．
∵ $O C ⊥ O E$ ，
∴ $∠ C O E = 90 °$ （                  ▲                  ）．
∵                  ▲                   $+ ∠$                    ▲                   ，
∴ $∠ D O E =$                   ▲                  °．

(2)、在平面内有一点D，满足 $∠ A O C = 2 ∠ A O D$ ．探究：当 $∠ B O C = α (0 ° < α < 180 °)$ 时，是否存在 $α$ 的值，使得 $∠ C O D = ∠ B O E$ ．若存在，请直接写出 $α$ 的值；若不存在，请说明理由．

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22. 如图1所示， $∠ A O B$ 、 $∠ C O D$ 都是直角．

(1)、试猜想 $∠ A O D$ 与 $∠ C O B$ 在数量上的关系是相等、互余还是互补的关系？你能用推理的方法说明你的猜想是否正确吗？

(2)、当 $∠ C O D$ 绕着点O旋转到图2的位置时，你原来的猜想还成立吗？

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23.

(1)、如图1，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE、CD相交于点F ， ∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°．求：∠BFD的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．

解：∵∠BDC＝∠A+∠ACD（ ▲ ），

∴∠BDC＝62°+35°＝97°（等量代换）．

∵∠BFD+∠BDC+∠ABE＝ ▲ （ ▲ ），

∴∠BFD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABE＝180°﹣97°﹣20°＝63°（等式的性质）．

(2)、如图2，把一个长方形的纸ABCD沿对角线折叠（长方形对边平行且相等，四个角是直角），重合部分△FBD是个什么三角形？请证明你的结论．

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车床编号	甲、乙	乙、丙	丙、丁	丁、戊	甲、戊
所需时间（h）	13	9	10	12	8

甲	乙	丙
书A	书B	书C

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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