（人教版）2022-2023学年八年级数学下册16.3 二次根式的加减同步测试

试卷更新日期：2023-01-10 类型：同步测试

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一、单选题

1. 下列计算中正确的是（）

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{- 4} = - 2$ C、 $\sqrt{9 \times 16} = \sqrt{9} \times \sqrt{16} = 12$ D、 $3 + 2 \sqrt{2} = 5 \sqrt{2}$

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2. 下列等式成立的是（）

A、 $\sqrt{6} \div \sqrt{2} = 3$ B、 $\pm \sqrt{0.16} = \pm 0.4$ C、 $\sqrt{{(- 6)}^{2}} = - 6$ D、 $2 + \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$

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3. 下列二次根式中，不能与 $\sqrt{3}$ 合并的是（　）

A、 $\sqrt{12}$ B、 $\sqrt{18}$ C、 $\sqrt{27}$ D、 $\sqrt{48}$

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4. 下列各根式中，与 $\sqrt{2}$ 是同类二次根式的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ B、 $\sqrt{0.2}$ C、 $\sqrt{20}$ D、 $\sqrt{12}$

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5. 计算 $(\sqrt{50} - \sqrt{18}) \div \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}}$ 的结果是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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6. 若最简二次根式 $\sqrt{a + 2}$ 与 $\sqrt{2 a - 3}$ 是可以合并的二次根式，则 $a$ 的值为（）

A、5 B、 $\frac{1}{3}$ C、-2 D、 $\frac{3}{2}$

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7. 若最简二次根式 $\sqrt{x + 3}$ 与最简二次根式 $\sqrt{2 x}$ 是同类二次根式，则x的值为（）

A、x＝0 B、x＝1 C、x＝2 D、x＝3

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8. 已知二次根式 $\sqrt{32 - a}$ 与 $\sqrt{8}$ 化成最简二次根式后，被开方数相同，则符合条件的正整数a有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 下列计算错误的是（）

A、3+2 $\sqrt{2}$ =5 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{8}$ ÷2= $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ × $\sqrt{3}$ = $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{8}$ $- \sqrt{2}$ = $\sqrt{2}$

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10. 计算 $(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1)^{2}$ 的结果是（）

A、 $2 \sqrt{3} + 2$ B、 $2 \sqrt{3} - 2$ C、2 D、 $\sqrt{3} + 1$

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二、填空题

11. 若a，b是2022的两个平方根，则 $a + b - a b =$ .

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12. 计算： $6 \sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{27}$ 的结果为．

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13. 写出 $\sqrt{20}$ 的一个同类二次根式（注：被开方数不是20）．

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14. 如果最简二次根式 $\sqrt[a + 1]{3 + 2 b}$ 和 $\sqrt{2 a + 1}$ 是同类二次根式，则ab= ．

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15. 若最简二次根式 $\sqrt{1 - 2 a}$ 和 $\sqrt[b - 1]{7}$ 是同类二次根式，那么a+b的值是．

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三、解答题

16. 从理论上讲，人眼能看清楚无限远处的物体，但受光线等外在条件和人的眼球本身的健康程度等影响，实际上无法做到．天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离s可用经验公式 $s^{2} = 17 h$ 来估计，其中h是眼睛离海平面的高度（公式中s的单位是千米，h的单位是米）．某游客站在海边一处观景台上，眼睛距离海平面的高度约为34米，他能看到大海的最远距离约是多少千米？（结果保留整数， $\sqrt{2} \approx 1.4$ ）

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17. 已知 $x = \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$ ， $y = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$ ，求代数式 $x^{2} - x y + y^{2}$ 的值．

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18. 已知： $x = \frac{2}{\sqrt{3} - 1}$ ，求代数式 $x^{2} - 2 x - 1$ 的值．

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四、综合题

19. 已知a= $\sqrt{2} + 1$ ， b= $\sqrt{2} - 1$ ，求下列代数式的值：

(1)、ab；

(2)、a²+ab+b²；

(3)、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ .

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20. 我们之前学习有理数时，知道两个数的乘积为1则这两个数互为倒数.在学习二次根式的过程中，小明研究发现有一些特殊的无理数之间具有互为倒数的关系.例如：由 $(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1) = 1$ ，可得 $\sqrt{2} + 1$ 与 $\sqrt{2} - 1$ 互为倒数，即 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1$ 或 $\frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1$ ，类似地， $(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 1$ ，可得 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ 或 $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$
根据小明发现的规律，解决下列问题：

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} =$ ， $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} =$ $(n$ 为正整数）

(2)、若 $\frac{1}{2 \sqrt{3} + a} = 2 \sqrt{3} - a$ ，则 $a =$

(3)、求 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}}$ 的值.

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21. 已知 $x = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ， $y = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ ．

(1)、求 $x^{2} - 3 x y + y^{2}$ 的值．

(2)、若x的整数部分是a，y的小数部分是b，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．

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22. 已知： $a = \sqrt{7} + 2$ ， $b = \sqrt{7} - 2$ ，求：

(1)、 $a b$ 的值；

(2)、 $a^{2} + b^{2} - a b$ 的值．

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23. 阅读材料：像 $(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = 3$ 、 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$ $(a \geq 0)$ 、 $(\sqrt{b} + 1) (\sqrt{b} - 1) = b - 1 (b \geq 0) \dots \dots$ 两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式 $.$ 例如， $\sqrt{3}$ 与 $\sqrt{3}$ 、 $\sqrt{2} + 1$ 与 $\sqrt{2} - 1$ 、 $2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5}$ 与 $2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{5}$ 等都是互为有理化因式 $.$ 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如； $\frac{1}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ ； $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{{(\sqrt{2} + 1)}^{2}}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)} = 3 + 2 \sqrt{2}$ ．
解答下列问题：

(1)、 $3 - \sqrt{7}$ 与互为有理化因式，将 $\frac{2}{3 \sqrt{2}}$ 分母有理化得；

(2)、计算： $\frac{1}{2 - \sqrt{3}} - \frac{6}{\sqrt{3}}$ ；

(3)、已知有理数a、b满足 $\frac{a}{\sqrt{2} + 1} + \frac{b}{\sqrt{2}} = - 1 + 2 \sqrt{2}$ ，求a、b的值．

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（人教版）2022-2023学年八年级数学下册16.3 二次根式的加减 同步测试

一、单选题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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