（人教版）2022-2023学年八年级数学下册16.2 二次根式的乘除同步测试

试卷更新日期：2023-01-10 类型：同步测试

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一、单选题

1. 在 $\sqrt{1.5}$ ， $\sqrt{30}$ ， $\sqrt{\frac{1}{2}}$ ， $\sqrt{12}$ 中最简二次根式的个数是（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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2. 下列运算结果正确的是（　　）

A、 $\sqrt{9} = \pm 3$ B、 $\sqrt{(- 5)^{2}} = - 5$ C、 $(- \sqrt{2})^{2} = 2$ D、 $\sqrt{6} \div \sqrt{2} = 3$

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3. $\sqrt{m + n}$ 的一个有理化因式是（）

A、 $\sqrt{m + n}$ B、 $\sqrt{m} + \sqrt{n}$ C、 $\sqrt{m} - \sqrt{n}$ D、 $\sqrt{m - n}$

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4. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　）

A、 $\sqrt{3 a^{2}}$ B、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ C、 $\sqrt{12}$ D、 $\sqrt{11 a}$

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5. 若二次根式 $\sqrt{x^{2}}$ 的值为3，则 $x$ 的值是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、 $\pm 3$ D、9

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6. $- \sqrt{2} \times \sqrt{5}$ ＝（）

A、 $\sqrt{10}$ B、- $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{7}$ D、- $\sqrt{7}$

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7. 化简二次根式 $\sqrt{\frac{b^{3}}{a}} (a < 0)$ 得（）

A、 $\frac{b \sqrt{a b}}{a}$ B、 $- \frac{b \sqrt{a b}}{a}$ C、 $\frac{b \sqrt{- a b}}{a}$ D、 $- \frac{b \sqrt{- a b}}{a}$

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8. 下列无理数中，与 $\sqrt{24}$ 相乘积为有理数的是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6}$

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9. 下列二次根式中，不是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{x^{2} + 1}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ D、 $\sqrt{10}$

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10. 化简 $\sqrt{8}$ 的结果是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、2 C、4 D、 $\pm 2 \sqrt{2}$

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二、填空题

11. 将 $\sqrt{32}$ 化成最简二次根式为．

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12. 4－ $\sqrt{15}$ 的倒数是．

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13. 分母有理化： $\frac{2}{\sqrt{5}} =$ ．

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14. $\sqrt{12} \times \sqrt{3} =$ .

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15. 若实数 $x ， y$ 满足 $x^{2} + y^{2} - 4 x = 2 y - 5$ ，则 $\frac{\sqrt{x} + y}{\sqrt{x} - y}$ 的值是

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三、解答题

16. 已知 $x = \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$ ， $y = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$ ，求代数式 $x^{2} - x y + y^{2}$ 的值．

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17. 从理论上讲，人眼能看清楚无限远处的物体，但受光线等外在条件和人的眼球本身的健康程度等影响，实际上无法做到．天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离s可用经验公式 $s^{2} = 17 h$ 来估计，其中h是眼睛离海平面的高度（公式中s的单位是千米，h的单位是米）．某游客站在海边一处观景台上，眼睛距离海平面的高度约为34米，他能看到大海的最远距离约是多少千米？（结果保留整数， $\sqrt{2} \approx 1.4$ ）

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18. 已知 $a = \frac{1}{\sqrt{3} - 1}$ ， $b = \frac{1}{\sqrt{3} + 1}$ ，求 $\sqrt{a b} (\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}})$ 的值．

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四、综合题

19. 阅读下面的材料，解答后面所给出的问题：两个含二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如： $\sqrt{a}$ 与 $\sqrt{a}$ ， $\sqrt{2} + 1$ 与 $\sqrt{2} - 1$ ．

(1)、请你写出两个二次根式，使它们互为有理化因式：，这样化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分母、分子同乘分母的有理化因式的方法就可以了．例如： $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{6} + 2}{3 - 2} = \sqrt{6} + 2$ ．

(2)、请仿照上述方法化简： $\frac{3}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ ；

(3)、比较 $\frac{1}{\sqrt{3} - 1}$ 与 $\frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ 的大小．

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20. 已知 $x = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ， $y = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ ．

(1)、求 $x^{2} - 3 x y + y^{2}$ 的值．

(2)、若x的整数部分是a，y的小数部分是b，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．

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21. 已知 $a = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} ， b = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ ，求下列代数式的值：

(1)、 $a^{2} - a b + b^{2}$

(2)、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$

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22. 已知： $a = \sqrt{7} + 2$ ， $b = \sqrt{7} - 2$ ，求：

(1)、 $a b$ 的值；

(2)、 $a^{2} + b^{2} - a b$ 的值．

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23. 阅读下列材料，然后回答问题：
在进行类似于二次根式 $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：
方法一： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3})^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3} - 1$
方法二： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3})^{2} - 1^{2}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3} - 1$

(1)、请用两种不同的方法化简： $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ ；

(2)、化简： $\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{8} + \sqrt{6}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2022} + \sqrt{2020}}$ ．

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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