（人教版）2022-2023学年八年级数学下册16.1 二次根式同步测试

试卷更新日期：2023-01-10 类型：同步测试

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一、单选题

1. 下列各式是二次根式的是（）

A、 $\sqrt{- 2}$ B、 $- \sqrt{2}$ C、 $\sqrt[3]{2}$ D、 $\sqrt{x}$

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2. 代数式 $\sqrt{x + 1}$ 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）

A、 $x > - 1$ B、 $x < - 1$ C、 $x \leq - 1$ D、 $x \geq - 1$

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3. 下面的计算和推导过程中，
∵ $\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3}$ ，      （第一步）
∴ $\sqrt{27} = 3 \sqrt{3}$ ，     （第二步）
∵ $- 3 \sqrt{3} = \sqrt{(- 3)^{2} \times 3} = \sqrt{27}$ ，    （第三步）
∴ $- 3 \sqrt{3} = 3 \sqrt{3}$ ，     （第四步）
其中首先错误的一步是（  ）

A、第一步 B、第二步 C、第三步 D、第四步

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4. 若 $\sqrt{2}$ 取1.414，则与 $\sqrt{50}$ 最接近的整数是（）

A、6 B、7 C、8 D、10

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5. 函数 $y = \sqrt{x + 2}$ 中自变量 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > 2$ B、 $x \geq - 2$ C、 $x < 2$ D、 $x ≤ - 2$

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6. 已知n是正整数， $\sqrt{3 n}$ 是整数，则n的最小值是（）

A、0 B、1 C、3 D、－3

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7. $\frac{\sqrt{5 - m}}{\sqrt{m + 1}}$ ＝ $\sqrt{\frac{5 - m}{m + 1}}$ 成立的条件是（）

A、m≥﹣1 B、m≤﹣5 C、﹣1＜m≤5 D、﹣1≤m≤5

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8. 若 $\sqrt{1 - n}$ 是二次根式，则n的值可以是（）

A、 $- 1$ B、2 C、3 D、5

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9. 若式子 $\sqrt{x - 2}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A、x≥－2 B、x>－2 C、x≥2 D、x<2

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10. 若k，m，n都是整数，且 $\sqrt{135}$ ＝k $\sqrt{15}$ ， $\sqrt{450}$ ＝15 $\sqrt{m}$ ， $\sqrt{180}$ ＝6 $\sqrt{n}$ ，则下列关于k，m，n的大小关系，正确的是(　　)

A、m＜k＜n B、m＝n＞k C、m＜n＜k D、k＜m＝n

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二、填空题

11. 如果式子 $\frac{\sqrt{1 - x}}{x + 2}$ 有意义，那么x的取值范围是．

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12. 当x时，二次根式 $\sqrt{x + 1}$ 在实数范围内有意义．

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13. 分式 $\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 3}$ 有意义的条件是：．

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14. 已知 $x y > 0$ ，化简二次根式 $x \sqrt{- \frac{y}{x^{2}}}$ 的正确结果是

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15. 如果y＝ $\sqrt{5 - x} + \sqrt{x - 5}$ +2，那么x^y的值是．

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三、解答题

16. 先化简，再求值： $(\frac{1}{x + y} - \frac{2}{x^{2} + x y}) \div \frac{x - 2}{2 x}$ ，其中实数x、y满足 $y = \sqrt{x - 3} - \sqrt{6 - 2 x} + 1$ ．

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17. 若实数a，b在数轴上的位置如图，化简： $\sqrt{a^{2} - 2 a b + b^{2}} - \sqrt{a^{2}} + \sqrt{b^{2}}$ .

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18. 在一节数学课上，李老师出了这样一道题目：
先化简，再求值： $| x - 1 | + \sqrt{{(x - 10)}^{2}}$ ，其中 $x = 9$ .

小明同学是这样计算的：

解： $| x - 1 | + \sqrt{{(x - 10)}^{2}} = x - 1 + x - 10 = 2 x - 11$ .

当 $x = 9$ 时，原式 $= 2 \times 9 - 11 = 7$ .

小荣同学是这样计算的：

解： $| x - 1 | + \sqrt{{(x - 10)}^{2}} = x - 1 + 10 - x = 9$ .

聪明的同学，谁的计算结果是正确的呢？错误的计算错在哪里？

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四、综合题

19. $\sqrt{a^{2}} = | a |$ 是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答以下问题：

(1)、化简： $\sqrt{(- 3)^{2}} =$ ， $\sqrt{(3 - π)^{2}} =$ ；

(2)、已知实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 在数轴上的对应点如图所示，化简 $- | c - a | + \sqrt{(b - c)^{2}}$ ．

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20. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： $3 + 2 \sqrt{2} = (1 + \sqrt{2})^{2}$ ，善于思考的小明进行了以下探索：
设 $a + b \sqrt{2} = (m + n \sqrt{2})^{2}$ （其中 $a ， b ， m ， n$ 均为整数），则有 $a + b \sqrt{2} = m^{2} + 2 n^{2} + 2 m n \sqrt{2}$ . $∴ a = m^{2} + 2 n^{2} ， b = 2 m n$ .这样小明就找到了一种把部分 $a + b \sqrt{2}$ 的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)、当 $a ， b ， m ， n$ 均为正整数时，若 $a + b \sqrt{3} = (m + n \sqrt{3})^{2}$ ，用含 $m ， n$ 的式子分别表示 $a ， b$ ，得 $a =$ ， $b =$ ；

(2)、若 $a + 4 \sqrt{3} = (m + n \sqrt{3})^{2}$ ，且 $a ， m ， n$ 均为正整数，求 $a$ 的值.

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21. 【阅读材料】宾宾在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，
如： $5 + 2 \sqrt{6} = (2 + 3) + 2 \sqrt{2 \times 3} = {(\sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{3})}^{2} + 2 \sqrt{2} \times \sqrt{3} = {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{2}$ ；

$8 + 2 \sqrt{7} = (1 + 7) + 2 \sqrt{1 \times 7} = 1^{2} + {(\sqrt{7})}^{2} + 2 \times 1 \times \sqrt{7} = {(1 + \sqrt{7})}^{2}$ .

(1)、【类比归纳】
请你仿照宾宾的方法将 $7 + 2 \sqrt{10}$ 化成另一个式子的平方；

(2)、请运用宾宾的方法化简； $\sqrt{11 - 6 \sqrt{2}}$ .

(3)、【变式探究】
若 $a \pm 2 \sqrt{21} = {(\sqrt{m} + \sqrt{n})}^{2}$ ，且a，m，n均为正整数，则 $a =$ .

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22. 观察下列等式：
① $\sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 1 \times 3$ .

② $\sqrt{17^{2} - 8^{2}} = 3 \times 5$ .

③ $\sqrt{37^{2} - 12^{2}} = 5 \times 7$ .

根据上述等式的规律解次下列问题：

(1)、完成第4个等式： $\sqrt{65^{2} - 16^{2}} =$

(2)、写出你猜想的第 $n$ 个等式(用含 $n$ 的代数式表示），并证明其正确性.

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23. 挖掘问题中所隐含的条件，解答下列问题：

(1)、如果 $\sqrt{{(x - 2)}^{2}}$ =2-x，那么（）

A、x<2 B、x≤2 C、x>2 D、x≥2

(2)、已知 $\sqrt{{(x - 3)}^{2}} - {(\sqrt{2 - x})}^{2}$ =2x，求x的值．

(3)、已知a，b是实数，且b> $\sqrt{a - 2}$ -2 $\sqrt{2 - a}$ +1，请化简： $\sqrt{1 - 2 b + b^{2}} - \sqrt{a^{2}}$ ．

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（人教版）2022-2023学年八年级数学下册16.1 二次根式 同步测试

一、单选题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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