浙江省绍兴市绍初教育集团2022-2023学年九年级上学期12月月考数学试题

试卷更新日期：2023-01-10 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 二次函数 $y = 3 x^{2} - 1$ 图象开口方向是（）

A、向上 B、向下 C、向左 D、向右

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2. 如图，点A，B，C是⊙O上的三点，且AB=4，BC=3，∠ABC=90°，则⊙O的直径为（）

A、5 B、6 C、8 D、10

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3. 掷一枚硬币3次有两次正面向上，一次反面向上，则第4次掷正面向上的可能性（）

A、100% B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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4. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（）

A、5 B、6 C、 $\frac{16}{3}$ D、 $\frac{17}{3}$

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5. 二次函数 y=-x²+2x+4，当 $- 1 \leq$ x $\leq 2$ 时，则y的取值范围为（）

A、 $1 \leq y \leq 4$ B、 $y \leq 5$ C、 $4 \leq y \leq 5$ D、 $1 \leq y \leq 5$

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6. 如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形， $∠ A D C = 60 °$ ， $⊙ O$ 的半径为3cm，则弦 $A C$ 的长等于（）

A、3 $\sqrt{2}$ cm B、3 $\sqrt{3}$ cm C、 $\frac{3}{2} \sqrt{3}$ cm D、3cm

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7. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点 $E$ 在 $B C$ 边上，连接 $D E$ 并延长交 $A B$ 的延长线于点 $F$ .若 $\frac{C E}{B E} = \frac{4}{3}$ ，则 $△ B E F$ 与 $△ A D F$ 的周长之比为（）

A、1：3 B、3：7 C、4：7 D、3：4

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8. 如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆O，分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE.若∠A＝α，则∠DOE的度数为（）

A、180-2α B、180-α C、90-α D、2α

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9. 如图，取一根等宽的纸条打个结再拉紧，重叠部分是正五边形，则FD：BF的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ C、0.618 D、 $\sqrt{5} - 1$

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10. 如图，四边形 $A B C D$ 为矩形，AB = 3，BC = 4．点P是线段 $B C$ 上一动点，点M为线段AP上一点． $∠ A D M = ∠ B A P$ ，则 $B M$ 的最小值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\sqrt{13} - \frac{3}{2}$ D、 $\sqrt{13} - 2$

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二、填空题

11. 明明家过年时包了50个饺子，其中有5个饺子包有幸运果．明明一家人连续吃了10个饺子都没有吃到幸运果，那么明明在剩余的饺子中任意挑选一个饺子，正好是包有幸运果饺子的概率是.

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12. 根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以 $40 m / s$ 的速度将小球沿与地面成 $30 °$ 角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是 $h = - 5 t^{2} + 20 t$ ，当飞行时间t为s时，小球达到最高点．

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13. 一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 $O B = 10$ ，水面宽 $A B = 12$ ，如果再注入一些水，当水面AB的宽变为16时，则水面AB上升的高度为.

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14. 二次函数y＝ax²+bx+c的部分对应值列表如下：
x
…
-3
0
1
3
5
…
y
…
7
-8
-9
-5
7
…
则一元二次方程a（2x+1）²+b（2x+1）+c＝-5的解为 .

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15. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为3， $E$ 为 $C D$ 上一点，连接 $A E$ 并延长，交 $B C$ 的延长线于点 $F$ ，过点 $D$ 作 $D G ⊥ A F$ ，交 $A F$ 于点 $H$ ，交 $B F$ 于点 $G$ ， $N$ 为 $E F$ 的中点， $M$ 为 $B D$ 上一动点，分别连接 $M C$ ， $M N$ ．若 $\frac{S_{△ D C G}}{S_{△ F C E}} = \frac{1}{4}$ ，则 $M N + M C$ 的最小值为．

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16. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 6$ ， $B D = 2$ ，以点 $B$ 为圆心， $B D$ 长为半径作圆.点 $E$ 为 $⊙ B$ 上的动点，连结 $E C$ ，作 $F C ⊥ C E$ ，垂足为 $C$ ，点 $F$ 在直线 $B C$ 的上方，且满足 $C F = \frac{1}{2} C E$ ，连结 $B F$ ，点 $E$ 在 $⊙ B$ 上运动过程中， $B F$ 存在最大值为.

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三、解答题

17. 达州市某中学举行了“中国梦，中国好少年”演讲比赛，菲菲同学将选手成绩划分为A、B、C、D四个等级，绘制了两种不完整统计图.
根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)、参加演讲比赛的学生共有 ▲ 人，扇形统计图中m= ▲ ， n= ▲ ，并把条形统计图补充完整.

(2)、学校欲从A等级2名男生2名女生中随机选取两人，参加达州市举办的演讲比赛，请利用列表法或树状图，求A等级中一男一女参加比赛的概率.（男生分别用代码 A₁、A₂表示，女生分别用代码B₁、B₂表示）

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18. 图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上.在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹.

(1)、在图①中以线段AD为边画一个格点三角形，使它与△ABC相似.

(2)、在图②中画一个格点三角形，使它与△ABC相似（不全等）.

(3)、在图③中的线段AB上画一个点P，使 $\frac{A P}{P B}$ ＝ $\frac{1}{4}$ .

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19. 如图，抛物线 $y = - (x - 1)^{2} + 4$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，作 $C D / / x$ 轴，交抛物线于另一点 $D$ ，连结 $A C$ ， $B C$ .

(1)、点B的坐标为.点D的坐标为.

(2)、动点 $E$ 从点 $B$ 出发，以1个单位 $/$ 秒的速度沿线段 $B C$ 向终点 $C$ 运动，设运动时间为 $t$ 秒，则当以 $C$ ， $D$ ， $E$ 为顶点的三角形与 $Δ A C B$ 相似时，求 $t$ 的值.

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20. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A C$ 为 $⊙ O$ 的直径， $∠ A D B = ∠ C D B$ .

(1)、试判断 $△ A B C$ 的形状，并给出证明；

(2)、若 $A B = \sqrt{2} ， A D = 1$ ，求CD、BD的长度.

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21. 某商场销售成本为每件40 元的商品.据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能卖出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10 件.设销售单价为x（ $x \geq 50$ ）元.

(1)、写出一周销售量y（件）与x（元）的函数关系式.

(2)、设一周销售获得毛利润w元，写出w与x的函数关系式，并确定当x在什么取值范围内变化时，毛利润w随x的增大而增大.

(3)、超市扣除销售额的20%作为该商品的经营费用，为使得一周内净利润（净利润=毛利润经营费用）最大，超市对该商品定价为元，最大毛利润为元.

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22. 探究：某学校数学社团遇到这样一个题目：如图①，在 $△ A B C$ 中，点 $O$ 在线段 $B C$ 上， $∠ B A O = 30 °$ ， $∠ O A C = 75 °$ ， $A O = 3 \sqrt{3}$ ， $B O ： C O = 1 ： 3$ ，求 $A B$ 的长.

经过社团成员讨论发现，过点 $B$ 作 $B D / / A C$ ，交 $A O$ 的延长线于点 $D$ ，连结 $B D$ ，如图②所示，通过构造 $△ A B D$ 就可以解决问题.

请你写出求 $A B$ 长的过程.

应用：如图③，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ， $A C ⊥ A D$ ， $∠ A B C = ∠ A C B = 75 °$ ， $B O ： O D = 1 ： 3$ .若 $A O = 3 \sqrt{3}$ ，请你求出 $A B$ 的长.

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23. 如图，已知矩形 $O A B C$ ，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中 $A (2 ， 0) ， C (0 ， 3) ，$ 点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线 $C O 上$ 运动，连接 $B P ，$ 作 $B E ⊥ P B$ 交x轴于点E，连接 $P E$ 交 $A B$ 于点F，设运动时间为t秒.

(1)、当 $t = 2$ 时，求点E的坐标；

(2)、在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与 $△ A B E$ 相似.若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.

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24. 如图1，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“蛋圆”，已知A，B，C，D分别为“蛋圆”与坐标轴的交点， $y = \frac{3}{4} x - 3$ 与“蛋圆”中的抛物线 $y = \frac{3}{4} x^{2} + b x + c$ 交于B，C两点.

(1)、求“蛋圆”中的抛物线的解析式，并直接写出“蛋圆”被y轴截得的线段BD的长.

(2)、“蛋圆”上是否存在点P使 $△ A P C$ 是等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.

(3)、如图2，E为直线BC下方“蛋圆”上一点，连结AE，AB，BE，设AE与BC交于F， $△ B E F$ 的面积记为 $S_{1}$ ， △ABF的面积记为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ 的最小值.

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x	…	-3	0	1	3	5	…
y	…	7	-8	-9	-5	7	…