2023年浙教版数学八年级下册第二章一元二次方程（进阶版）

试卷更新日期：2023-01-09 类型：单元试卷

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是4，一次项系数是-7，常数项是2的方程是（）

A、 $4 x^{2} + 2 = 7 x$ B、 $4 x^{2} - 2 = 7 x$ C、 $4 x^{2} + 7 x = 2$ D、 $- 4 x^{2} - 7 x = 2$

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2. 用直接开平方法解方程 ${(2 x - 3)}^{2} = 4$ 时，可以将其转化为 $2 x - 3 = 2$ 或 $2 x - 3 = - 2$ ，其依据的数学知识是（）

A、完全平方公式 B、平方根的意义 C、等式的性质 D、一元二次方程的求根公式

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3. 已知方程 $x^{2} - 6 x + 4 = □$ ，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成 ${(x - p)}^{2} = 7$ 的形式，则印刷不清楚的数字是（）

A、6 B、9 C、2 D、-2

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4. 在应用一元二次方程解决问题时，老师展示出一张图片如图所示，在矩形纸片上截去两个同样大小的圆，要求使两圆的面积和是剩余面积的一半，已知矩形的长和宽分别为 $80 m m$ 和 $60 m m$ ，圆的半径为 $x m m$ ，根据题意列方程为（　　）

A、 $π x^{2} = 80 \times 60 \times \frac{1}{3}$ B、 $π x^{2} = 80 \times 60 \times \frac{1}{2}$ C、 $2 π x^{2} = (80 \times 60 - 2 π x^{2}) \times \frac{1}{2}$ D、 $2 π x^{2} = (80 \times 60 - 2 π x^{2}) \times \frac{1}{3}$

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5. 已知关于x的一元二次方程 $(p + 1) x^{2} + 2 q x + (p + 1) = 0$ （其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（）．

A、1可能是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根 B、 $- 1$ 可能是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根 C、0可能是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根 D、1和-1都是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根

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6. 已知关于x的方程 $x^{2} - (2 m - 1) x + m^{2} = 0$ 的两实数根为 $x_{1} ， x_{2}$ ， $(x_{1} + 1) (x_{2} + 1) = 3$ ，则m的值为（）

A、﹣3 B、﹣1 C、﹣3或1 D、﹣1或3

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7. 对于两个不相等的实数 $a ， b$ ，我们规定符号 $max {a ， b}$ 表示 $a ， b$ 中较大的数，如 $\max {2 ， 4} = 4$ ，按这个规定，方程 $\max {x ， - x} = \frac{2 x + 1}{x}$ 的解为（）

A、 $1 - \sqrt{2}$ B、 $2 - \sqrt{2}$ C、 $1 - \sqrt{2} 或 1 + \sqrt{2}$ D、 $1 + \sqrt{2}$ 或-1

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8. 如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线AC的两侧，且到所在三角形三边的距离都等于1．若AC=5，则EF的长为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{12}{5}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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9. 直线 $y = x + a$ 不经过第二象限，则关于x的一元二次方程 $a x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 的解的情况是（）

A、无法确定 B、无实数根 C、两个相等的实根 D、两个不相等的实根

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10. 下列说法：
$①$ 若一元二次方程 $x^{2} + b x + a = 0$ 有一个根是 $- a (a \neq 0)$ ，则代数式 $a - b$ 的值是 $- 1$ $②$ 若 $a + b + c = 0$ ，则 $x = a + b + c$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根 $③$ 若 $b = 2 a + 3 c$ ，则一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有不相等的两个实数根 $④$ 当m取整数 $- 1$ 或1时，关于x的一元二次方程 $m x^{2} - 4 x + 4 = 0$ 与 $x^{2} - 4 m x + 4 m^{2} - 4 m - 5 = 0$ 的解都是整数.其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 关于x的方程mx²+x﹣m+1＝0，有以下三个结论：
①当m＝0时，方程只有一个实数解；
②当m≠0时，方程有两个不相等的实数解；
③无论m取何值，方程都有一个负数解．
其中正确的是（填序号）．

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12. 等腰三角形的三边的长是a 、b、4，其中a、b是方程x²-6x+c=0两个根，则此三角形的三边长是．

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13. 餐桌桌面是长为160cm 、宽为100cm 的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面1.4倍，且四周垂下来的桌布宽相等，小强想帮妈妈求出四周垂下来的桌布宽，如果设四周垂下来的桌布宽为xcm，所列方程应为．

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14. 随着国内新冠疫情逐步得到控制，人们的口罩储备逐渐充足，市场的口罩需求量在逐渐减少，某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到81万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为

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15. 商家通常依据“利好系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b>a）以及常数k（0≤k≤1）确定实际销售价格为c=a+k（b-a），这里的k被称为利好系数．经验表明，最佳利好系数k恰好使得 $\frac{b - a}{c - a} = \frac{3 c - 3 a}{b - c}$ ，据此可得，最佳利好系数k的值等于．

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16. 已知关于x的方程 $| x^{2} + 2 p x - 3 p^{2} + 5 | - q = 0$ ，其中p、q都是实数.若方程有三个不同的实数根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ ，且 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \frac{1}{x_{3}} = 0$ ，则q的值为.

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三、解答题（共9题，共72分）

17. 解下列方程

(1)、 ${(2 x + 3)}^{2} - 81 = 0$

(2)、 $x^{2} - 6 x - 2 = 0$

(3)、 $5 x (3 x + 2) = 6 x + 4$

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18. 阅读下面的材料，解答问题．
材料：解含绝对值的方程： $x^{2} - 3 | x | - 10 = 0$ ．

解：分两种情况：

①当 $x \geq 0$ 时，原方程化为 $x^{2} - 3 x - 10 = 0$ ，解得 $x_{1} = 5$ ， $x_{2} = - 2$ （舍去）；

②当 $x < 0$ 时，原方程化为 $x^{2} + 3 x - 10 = 0$ ，解得 $x_{3} = - 5$ ， $x_{4} = 2$ （舍去）．

综上所述，原方程的解是 $x_{1} = 5$ ， $x_{2} = - 5$ ．

请参照上述方法解方程 $x^{2} - | x + 1 | - 1 = 0$ ．

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19. 直播带货逐渐走进了人们的生活，某电商在APP上对一款成本价为40/件的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每星期可卖出300件，通过市场调查发现，每件小商品的售价每降价 $0.5$ 元，每星期可多卖出10件，在顾客得实惠的前提下，电商还想获得 $6080$ 元利润，每件小商品的售价应定为多少元？这时电商每月能售出小商品多少件？

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20. 关于x的一元二次方程

x^{2} + b x + c = 0

经过适当变形，可以写成

(x - s) (x - t) = p (s \leq t)

的形式．现列表探究

x^{2} - 4 x - 5 = 0

的变形：

变形	s	t	p
$(x + 1) (x - 5) = 0$	-1	5	0
$x (x - 4) = 5$	0	4	5
$(x - 1) (x - q) = 8$	1	q	8
${(x - 2)}^{2} = 9$	2	2	9

回答下列问题：

(1)、表格中q的值为．

(2)、观察上述探究过程，表格中s与t满足的等量关系为．

(3)、记

x^{2} + b x + c = 0

的两个变形为

(x - s_{1}) (x - t_{1}) = p_{1}

和

(x - s_{2}) (x - t_{2}) = p_{2} (p_{1} \neq p_{2})

，求

\frac{t_{1} - t_{2}}{s_{1} - s_{2}}

的值．

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21. 定义：若关于x的一元二次方程 $a x^{2}$ ＋bx＋c＝0（a≠0）的两个实数根为 $x_{1} ， x_{2}$ （ $x_{1} ＜ x_{2}$ ），分别以 $x_{1} ， x_{2}$ 为横坐标和纵坐标得到点M（ $x_{1} ， x_{2}$ ），则称点M为该一元二次方程的知行点．

(1)、若一元二次方程为 $x^{2}$ ﹣2x＝0，请直接写出该方程的知行点M的坐标为；

(2)、若关于x的一元二次方程为 $x^{2}$ ﹣2（m﹣1）x＋ $m^{2}$ ﹣2m＝0．
①求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的知行点M的坐标；
②直线 $l_{1}$ ：y＝x＋5与x轴交于点A，直线 $l_{2}$ 过点B（1，0），且 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交于点C（﹣1，4），若由①得到的点M在△ABC的内部，求m的取值范围；

(3)、是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程 $x^{2}$ ＋bx＋c＝0的知行点M始终在直线y＝kx＋3（2﹣k）的图象上．若有，请直接写出b，c的值；若没有，请说明理由．

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22.

(1)、【课本再现】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排 $4$ 场比赛．
①共有场比赛；
②设比赛组织者应邀请 $x$ 个队参赛，每个队要与其他个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛场，列方程：．

(2)、【小试牛刀】
参加一次聚会的每两人都要握手一次，所有人共握手了10次，有多少人参加聚会？

(3)、【综合运用】
将 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， ……， $A_{n}$ ，共 $n$ 个点每两个点连一条线段共得到 $y_{1}$ 条线段，将 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $B_{3}$ ， ……， $B_{2 n}$ ．共 $2 n$ 个点每两个点连一条线段共得到 $y_{2}$ 条线段，问 $\frac{y_{2}}{y_{1}}$ 能否为整数？写出你的结论，并说明理由．

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23.

(1)、用配方法解一元二次方程除了课本的方法，也可以用下面的配方方式：
将 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 两边同时乘以 $4 a$ 并移项，得到 $4 a^{2} x^{2} + 4 a b x = - 4 a c$ ，两边再同时加上 $b^{2}$ ，得（ ▲ ）² $= b^{2} - 4 a c$ .请用这样的方法解方程： $3 x^{2} + 5 x + 1 = 0$ ；

(2)、华裔数学家罗博深在2019年提出了一种全新的一元二次方程解法，对于 $x^{2} + b x + c = 0$ ，将等式左边进行因式分解，得到以下形式：
$x^{2} + b x + c = (x - m) \cdot (x - n)$ （从这里可以看出方程的解为 $x_{1} = m$ ， $x_{2} = n$ ）

即 $x^{2} + b x + c = x^{2} - (m + n) x + m n$

因为 $m + n = - b$ ，所以 $m$ 、 $n$ 的平均数为 $- \frac{b}{2}$ ，不妨设 $m = - \frac{b}{2} + p$ ， $n = - \frac{b}{2} - p$ ，

利用 $x_{1} \cdot x_{2} = m n$ ，得 $(- \frac{b}{2} + p) \cdot (- \frac{b}{2} - p) = c$ ，所以 ${(- \frac{b}{2})}^{2} - p^{2} = c$ ，即能求出 $p$ 的值.

举例如下：解一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 4 = 0$ ，由于 $- \frac{b}{2} = 1$ ，所以方程的两个根为 $1 \pm p$ ，而 $1^{2} - p^{2} = - 4$ ，解得 $p = \pm \sqrt{5}$ ，所以方程的解为 $x_{1} = 1 + \sqrt{5}$ ， $x_{2} = 1 - \sqrt{5}$ .

请运用以上方法解如下方程① $x^{2} - 2 \sqrt{3} x - 4 = 0$ ；② $3 x^{2} - \sqrt{11} x + \frac{1}{2} = 0$

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24. 阅读材料：
材料1 若一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x₁ ， x₂则x₁+x₂＝﹣ $\frac{b}{a}$ ，x₁x₂＝ $\frac{c}{a}$ .

材料2 已知实数m，n满足m²﹣m﹣1＝0，n²﹣n﹣1＝0，且m≠n，求 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ 的值.

解：由题知m，n是方程x²﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n＝1，mn＝﹣1，所以 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n} = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} = \frac{{(m + n)}^{2} - 2 m n}{m n} = \frac{1 + 2}{- 1}$ ＝﹣3.

根据上述材料解决以下问题：

(1)、材料理解：一元二次方程5x²+10x﹣1＝0的两个根为x₁ ， x₂ ，则x₁+x₂＝， x₁x₂＝.

(2)、类比探究：已知实数m，n满足7m²﹣7m﹣1＝0，7n²﹣7n﹣1＝0，且m≠n，求m²n+mn²的值：

(3)、思维拓展：已知实数s、t分别满足19s²+99s+1＝0，t²+99t+19＝0，且st≠1.求 $\frac{s t + 4 s + 1}{t}$ 的值.

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25. 如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm.

(1)、点 P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由.

(2)、若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点 Q沿射线 CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm²？

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2023年浙教版数学八年级下册第二章 一元二次方程（进阶版）

一、单选题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题（共9题，共72分）

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