2023年浙教版数学八年级下册第一章二次根式（进阶版）

试卷更新日期：2023-01-09 类型：单元试卷

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）

A、 $\frac{1}{3} \sqrt{6} ， 3 \sqrt{72}$ B、 $3 \sqrt{5} ， \sqrt{15}$ C、 $\frac{1}{2} \sqrt{12} ， \sqrt{\frac{1}{3}}$ D、 $\sqrt{8} ， \sqrt{\frac{2}{3}}$

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2. 下列代数式能作为二次根式被开方数的是（）

A、3﹣π B、a C、a²+1 D、2x+4

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3. 下列计算正确的是（　　）

A、 $(3 - 2 \sqrt{2}) (3 - 2 \sqrt{2}) = 9 - 2 \times 3 = 3$ B、 $(2 \sqrt{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} - \sqrt{y}) = 2 x - y$ C、 ${(3 - \sqrt{3})}^{2} = 3^{2} - {(\sqrt{3})}^{2} = 6$ D、 $(\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}) (\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}) = 1$

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4. 设实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简 $2 \sqrt{a^{2}} + | a + b |$ 的结果是（）

A、－a＋b B、2a＋b C、3a＋b D、b

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5. 直线l： $y = (m - 3) x + n - 2$ （m、n为常数）的图象如图，化简： $| m - 3 | - \sqrt{n^{2} - 4 n + 4}$ 得（）

A、 $3 - m - n$ B、5 C、-1 D、 $m + n - 5$

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6. 已知a= $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ ，b= $\frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，则a与b的关系是（）

A、相等 B、互为相反数 C、互为倒数 D、平方值相等

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7. 设等式 $\sqrt{a (x - a)} + \sqrt{a (y - a)} = \sqrt{x - a} - \sqrt{a - y}$ 在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则 $\frac{3 x^{2} + x y - y^{2}}{x^{2} - x y + y^{2}}$ 的值是（）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、2 D、 $\frac{5}{3}$

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8. 下列各实数中最大的一个是（）

A、5× $\sqrt{0.039}$ B、 $\frac{3.141}{π}$ C、 $\frac{7}{\sqrt{14} + \sqrt{7}}$ D、 $\sqrt{0.3}$ + $\sqrt{0.2}$

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9. “分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})} = 7 + 4 \sqrt{3}$ ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，设x= $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，易知 $\sqrt{3 + \sqrt{5}}$ > $\sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，故x>0，由x²= ${(\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}})}^{2}$ = $3 + \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5} - 2 \sqrt{(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})}$ =2，解得x= $\sqrt{2}$ ，即 $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}} = \sqrt{2}$ 。根据以上方法，化简 $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \sqrt{6 - 3 \sqrt{3}} - \sqrt{6 + 3 \sqrt{3}}$ 后的结果为（）

A、5+3 $\sqrt{6}$ B、5+ $\sqrt{6}$ C、5- $\sqrt{6}$ D、5-3 $\sqrt{6}$

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10. 已知 $max {\sqrt{x}$ ， $x^{2}$ ， $x}$ 表示取三个数中最大的那个数﹒例如：当 $x = 9$ ， $max {\sqrt{x}$ ， $x^{2}$ ， $x}$ = $max {\sqrt{9}$ ， $9^{2}$ ， $9}$ =81﹒当 $max {\sqrt{x}$ ， $x^{2}$ ， $x}$ = $\frac{1}{16}$ 时，则 $x$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{512}$ B、 $\frac{1}{256}$ C、 $\frac{1}{64}$ D、 $\frac{1}{16}$

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 已知 $y = \sqrt{x - 1} + \sqrt{5 - x}$ （x，y均为实数），则y的最大值是.

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12. 若实数a，b，c满足关系式 $\sqrt{a - 9 + b} + \sqrt{9 - a - b} = \sqrt{4 a - c + 4 b}$ ，则c的平方根为.

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13. 若 $\sqrt{x - 2023} + | 2022 - x | = x$ ，则 $2022^{2} - x =$ .

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14. 已知， $y = \sqrt{{(x - 3)}^{2}} + 4 - x$ ，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y值的总和是.

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15. 阅读理解：对于任意正整数a，b，∵ ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0$ ， ∴ $a - 2 \sqrt{a b} + b \geq 0$ ， ∴ $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，只有当 $a = b$ 时，等号成立；结论：在 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ （a、b均为正实数）中，只有当 $a = b$ 时， $a + b$ 有最小值 $2 \sqrt{a b}$ .若 $m > 1$ ， $\sqrt{m} + \frac{1}{\sqrt{m} - 1}$ 有最小值为．

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16. 已知a、b是正整数，如果有序数对(a, b)能使得2 $(\sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}})$ 的值也是整数，那么称（a,b）是2 $(\sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}})$ 的一个“理想数对”。如（1，1）使得2 $(\sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}})$ =4，（4，4）使得2 $(\sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}})$ 所以（1,1）和（4，4）都是2 $(\sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}})$ 的“理想数对”，请你再写出一个2 $(\sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}})$ 的“理想数对”： .

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三、计算题（共4题，共23分）

17. 计算下列各题

(1)、 $\sqrt{18} + \sqrt{\frac{1}{8}} - \sqrt{0.5}$ ；

(2)、 $\sqrt{48} \div \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{12} + \sqrt{24}$ ；

(3)、 $(3 - 2 \sqrt{5}) (3 + 2 \sqrt{5}) + {(1 - \sqrt{5})}^{2}$

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18. 计算：

(1)、 $\sqrt{48} \div \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{12} + \sqrt{24}$

(2)、 $(2 \sqrt{5} + \sqrt{6}) (2 \sqrt{5} - \sqrt{6}) + \sqrt{5} - \sqrt{{(1 - \sqrt{5})}^{2}}$

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19. 先化简，再求值： $[\frac{4}{(\sqrt{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} - \sqrt{y})} + \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x y} (\sqrt{y} - \sqrt{x})}] \div \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x y}}$ ，其中x＝1，y＝2．

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20. 已知：x＝ $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ ，y＝ $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ ，求 $\frac{x^{3} - x y^{2}}{x^{4} y - 2 x^{3} y^{2} + x^{2} y^{3}}$ 的值．

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四、综合题

21. 在进行二次根式的化简时，我们有时会碰上如 $\frac{5}{\sqrt{3}}$ ， $\sqrt{\frac{2}{3}}$ ， $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
$\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{5}{3} \sqrt{3}$ ①

$\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{2 \times 3}{3 \times 3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ②

$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3} - 1$ ③

以上这种化简的方法称之为分母有理化.

$\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 还可以用以下方法化简：

$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3} - 1$ ④

(1)、请你根据上面的方法化简： $\sqrt{\frac{1}{8}} =$ ； $\sqrt{4 \frac{2}{3}} =$ ；

(2)、请参照③式，化简 $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ ；

(3)、请参照④式，化简 $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ ；

(4)、化简： $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2 n + 1} + \sqrt{2 n - 1}}$

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22. 如图，在平面直角坐标系中，点A( $a$ ，0)，AB⊥ $x$ 轴，且AB=10，点C（0，b）， $a$ ，b满足 $b = \sqrt{a - 25} + \sqrt{25 - a} + 15$ .点P（t，0）是线段AO上一点（不包含A，O）

(1)、当t=5时，求PB：PC的值；

(2)、当PC+PB最小时，求t的值；

(3)、请根据以上的启发，解决如下问题：正数m，n满足m+n=10，且正数 $p$ = $\sqrt{m^{2} + 9} + \sqrt{n^{2} + 25}$ ，则正数 $p$ 的最小值=.

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23. 阅读理解：
二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．

例如：化简 $\frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ．

解：将分子、分母同乘以 $\sqrt{2} + 1$ 得： $\frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)} = \sqrt{2} + 1$ ．

(1)、类比应用：
①化简： $\frac{1}{2 \sqrt{3} - \sqrt{11}} =$ ；

②化简： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{9} + \sqrt{8}} =$ ．

(2)、拓展延伸：宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的矩形叫黄金矩形．
如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1．

①求黄金矩形ABCD的长BC；

②如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；

③在图②中，连结AE，求点D到线段AE的距离．

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24. 甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由图乙中的一连串直角三角形演化而成的，其中OA₁＝A₁A₂＝A₂A₃＝…＝A₇A₈＝1.
细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：

（ $\sqrt{1}$ ）²＋1＝2，S₁＝ $\frac{\sqrt{1}}{2}$ ；（ $\sqrt{2}$ ）²＋1＝3，S₂＝ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ；（ $\sqrt{3}$ ）²＋1＝4，S₃＝ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ；….

(1)、请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律，并计算出OA₁₀的长；

(2)、求出 $S_{1}^{2} + S_{2}^{2} + S_{3}^{2} + \dots + S_{10}^{2}$ 的值.

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2023年浙教版数学八年级下册第一章 二次根式（进阶版）

一、单选题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、计算题（共4题，共23分）

四、综合题

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