（人教版）2022-2023学年七年级数学下册6.3实数同步测试

试卷更新日期：2023-01-09 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知 $a = \sqrt{26} - 1$ ， $a$ 介于两个连续自然数之间，则下列选项正确的是（）

A、 $4 < a < 5$ B、 $3 < a < 4$ C、 $2 < a < 3$ D、 $5 < a < 6$

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2. 下列实数中，无理数是（）

A、0 B、3.14 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{22}{7}$

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3. 已知数a，b，c的大小关系如图所示，则下列各式：
① $a b c > 0$ ；② $a + b - c > 0$ ；③ $b c - a > 0$ ；④ $| a - b | - | c + a | + | b - c | = - 2 a$ ，其中正确个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 下面几个数： $0 . \overset{•}{1} 2 \overset{•}{3}$ ， $1.010010001 \dots ($ 每两个“1之间依次多个0” $)$ ， $- \sqrt[3]{0.064}$ ， $π$ ， $\frac{22}{7}$ ， $\sqrt{5}$ ，其中无理数的个数有（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 估计 $\sqrt{19} - 1$ 的值在（）

A、2和3之间 B、3和4之间 C、4和5之间 D、5和6之间

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6. 关于 $\sqrt{8}$ 的叙述正确的是（）

A、在数轴上不存在表示 $\sqrt{8}$ 的点 B、 $\sqrt{8} = \sqrt{2} + \sqrt{6}$ C、 $\sqrt{8} = \pm \sqrt{2}$ D、与 $\sqrt{8}$ 最接近的整数是3

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7. 在 $\frac{7}{8}$ 、5、-3π、8.1、1.41414141中，有理数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 如果实数a= $\sqrt{11}$ ，且a在数轴上对应点的位置如图所示，其中正确的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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9. 下列四个实数中，最大的数是（）

A、－3 B、－1 C、 $\sqrt{10}$ D、3

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10. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）

A、 $a > 0$ B、 $a < b$ C、 $a + b < 0$ D、 $a b > 0$

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二、填空题

11. 请你写出一个比1大且比2小的无理数，该无理数可以是.

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12. 已知 $m$ ， $n$ 是两个连续整数，且满足 $m < \sqrt{15} < n$ ，则 $m + n$ 的值为.

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13. 点A，B在数轴上，以AB为边作正方形，该正方形的面积是7．若点A对应的数是－2，则点B对应的数是．

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14. 如图，直径为1个单位长度的圆，在数轴上从表示 $- 1$ 的点A滚动一周到点B，则点B表示的无理数为．

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15. 比较大小：（填“>”或“<”或“=”） $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ $\frac{1}{2}$ ．

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三、解答题

16. 把下列各数填入相应的括号内：
$- 6 ， - \frac{1}{6} ， 42 ， 0 ， - 0.33 ， - \frac{π}{3} ， 1 \frac{2}{5} ， - 3.3030030003 ⋯ ， - 2 . \dot{4} \dot{7}$
正数集合：（       …）
整数集合：（        …）
负分数集合：（        …）
无理数集合：（        …）

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17. 把下列各数：-2.5，0， $\sqrt{2}$ ， $| - \frac{3}{2} |$ 在数轴上表示出来，并将这些数用“ $<$ ”连接.

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18. 已知 $a - 1$ 的算术平方根是2， $4 a + b - 3$ 的立方根是3，c是 $\sqrt{15}$ 的整数部分，求 $a c + b$ 的平方根．

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四、综合题

19. 对于任何实数 $a$ ，可用 $[a]$ 表示不超过 $a$ 的最大整数，如 $[4.1] = 4$ .

(1)、则 $[11.8] =$ ； $[- 11.9] =$ ；

(2)、现对119进行如下操作： $119 \overset{第一次}{\to} [\sqrt{119}] = 10 \overset{第二次}{\to} [\sqrt{10}] = 3 \overset{第三次}{\to} [\sqrt{3}] = 1$ ，这样对119只需进行3次操作后变为1.
$①$ 对15进行1次操作后变为 ▲ ，对200进行3次操作后变为 ▲ ；

$②$ 对实数 $m$ 恰进行2次操作后变成1，则 $m$ 最小可以取到 ▲ ；

$③$ 若正整数 $m$ 进，3次操作后变为1，求 $m$ 的最大值.

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20. 阅读下面的文字，解答问题：
大家知道 $\sqrt{2}$ 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 $\sqrt{2}$ 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 $\sqrt{2} - 1$ 来表示 $\sqrt{2}$ 的小数部分，因为 $\sqrt{2}$ 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.又例如： $∵ \sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$ ，即 $2 < \sqrt{7} < 3 ， ∴ \sqrt{7}$ 的整数部分为2，小数部分为 $(\sqrt{7} - 2)$ .

请解答：

(1)、 $\sqrt{15}$ 的整数部分是，小数部分是.

(2)、已知 $(2 + \sqrt{6})$ 的小数部分为 $a ， (5 - \sqrt{6})$ 的小数部分为 $b$ ，计算 $a + b$ 的值.

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21. 阅读材料，解答下面的问题：
$∵$ $\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$ ，即 $2 < \sqrt{7} < 3$ ，

$∴$ $\sqrt{7}$ 的整数部分为2，小数部分为 $\sqrt{7} - 2$ ．

(1)、求 $\sqrt{6}$ 的整数部分．

(2)、已知 $5 + \sqrt{6}$ 的小数部分是 $a$ ， $5 - \sqrt{6}$ 的小数部分是 $b$ ，求 ${(a + b)}^{2021}$ 的值．

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22. 阅读材料：求1+2+2²+2³+……+2¹⁰⁰的值.
解：设S=1+2+2²+2³+……+2¹⁰⁰
将等式两边同时乘以2得
2S=2+2²+2³+2⁴……+2¹⁰¹
因此2S-S=（2+2²+2³+2⁴……+2¹⁰¹） - （1+2+2²+2³+……+2¹⁰⁰） =2¹⁰¹-1
所以S=2¹⁰¹-1
即1+2+2²+2³+……+2¹⁰⁰=2¹⁰¹-1
请你仿照此法计算：

(1)、1+2+2²+2³+2⁴+2⁵=

(2)、求1+3+3²+……+3¹⁰¹的值.

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23. 先阅读下面材料，再解答问题：
材料：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零.由此可得：若 $a + b \sqrt{m} = 0$ ，其中a，b为有理数， $\sqrt{m}$ 是无理数，则 $a = 0 ， b = 0$ .

证明：∵ $a + b \sqrt{m} = 0$ ， a为有理数

∴ $b \sqrt{m}$ 是有理数

∵b为有理数， $\sqrt{m}$ 是无理数

∴ $b = 0$

∴ $a + 0 \sqrt{m} = 0$

∴ $a = 0$

(1)、若 $a + b \sqrt{3} = 3 + \sqrt{3}$ ，其中a、b为有理数，请猜想a= ， b= ，并根据以上材料证明你的猜想；

(2)、已知 $\sqrt{11}$ 的整数部分为a，小数部分为b，且x，y为有理数，x，y，a，b满足 $11 y + \sqrt{11} (y - \sqrt{11} x) = (b + 2) \sqrt{11} + a \sqrt{11}$ ，求x，y的值.

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二、填空题

三、解答题

四、综合题

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