浙江省杭州市余杭区2021-2022学年九年级下学期开学考试数学试题

试卷更新日期：2023-01-09 类型：开学考试

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一、单选题

1. 抛物线y＝2（x﹣1）²+3的顶点坐标是（）

A、（1，3） B、（1，﹣3） C、（﹣1，3） D、（﹣1，﹣3）

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2. 如图，在Rt△ABC中，BC＝3，斜边AC＝5，则下列等式正确的是（）

A、sinC＝ $\frac{3}{5}$ B、cosC＝ $\frac{4}{3}$ C、tanA＝ $\frac{3}{4}$ D、sinA＝ $\frac{4}{5}$

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3. 下列说法正确的是（）

A、某一事件发生的可能性非常大就是必然事件 B、概率很小的事情不可能发生 C、2022年1月27日杭州会下雪是随机事件 D、投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次

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4. 如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝45°，⊙O的半径为2，则BC的长为（）

A、2 B、2 $\sqrt{2}$ C、4 D、2 $\sqrt{3}$

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5. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x$ 经过点 $A (- 3 ， - 3)$ ，且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（）

A、 $y = - \frac{1}{3} x^{2} - 2 x$ B、 $y = - \frac{1}{3} x^{2} + 2 x$ C、 $y = \frac{1}{3} x^{2} - 2 x$ D、 $y = \frac{1}{3} x^{2} + 2 x$

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6. 如图是著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形ABCD内，点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，若AB=2a，则BE长为（）

A、（ $\sqrt{5}$ +1）a B、（ $\sqrt{5}$ ﹣1）a C、（3﹣ $\sqrt{5}$ ）a D、（ $\sqrt{5}$ ﹣2）a

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7. 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3，连结AE，BD交于点F，则S△_DEF：S△_ADF：S△_ABF等于（）

A、2：3：5 B、4：9：25 C、4：10：25 D、2：5：25

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8. 二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a $> \frac{1}{2}$ ；④b＞1，其中正确的结论个数是（）

A、1个 B、2 个 C、3 个 D、4 个

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9. 对于二次函数y＝kx²-（4k+1）x+3k+3.下列说法正确的是（）
①对于任何满足条件的k，该二次函数的图象都经过点（1，2）和（3，0）两点；②该函数图象与x轴必有交点；③若k＜0，当x≥2时，y随x的增大而减小；④若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么k＝-1.

A、①②③ B、①②④ C、②③④ D、①③④

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10. 如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD=x，tan∠ACB=y，则（）

A、x–y²=3 B、2x–y²=9 C、3x–y²=15 D、4x–y²=21

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二、填空题

11. 在六张完全相同的卡片上，分别画有圆、矩形、菱形、等边三角形、直角三角形、正六边形，现从中随机抽取一张卡片，既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是.

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12. 扇形的圆心角为 $90 °$ ，半径为2，则扇形的面积为.

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13. 如图，已知DE∥BC且AD：DB＝2：1，则S_Ⅰ：S_Ⅱ＝

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14. 如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC＝130°，则∠AOC的度数是.

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15. 二次函数 $y = x^{2} + b x$ 的图象如图，对称轴为直线 $x = 1$ ．若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + b x - t = 0$ （ $t$ 为实数）在 $- 1 < x < 4$ 的范围内解，则 $t$ 的取值范围是．

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16. 已知一次函数y₁＝-x，二次函数y₂＝x²-2kx+k²-k（k＞0）.

(1)、当x＜1时，y₂的函数值随x的增大而减小，则k的最小整数值为；

(2)、若y＝y₂-y₁ ，若点M（k+2，s），N（a，b）都在函数y的图像上，且s＜b，则a的取值范围.（用含k的式子表示）

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三、解答题

17. 计算

(1)、计算： $\sqrt{12} - 2 s i n 60 ° + {(\sqrt{2022} - 1)}^{0} - {(\frac{1}{3})}^{- 1}$ ；

(2)、已知 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3}$ ，且a+b＝20，求a，b的值.

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18. 随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗.李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗.

(1)、李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为

(2)、用列表法或面树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率.

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19. 如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡比为1： $\sqrt{3}$ ，且B、C、E三点在同一条直线上请根据以上条件求出：

(1)、AC的长；

(2)、树DE的高度.

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20. 如图，△ABC中，点P、E分别在边AB、BC上，点E为边BC的中点，点Q在线段CA的延长线上，且∠B＝∠PEQ＝∠C＝45°.

(1)、求证：△BPE∽△CEQ；

(2)、若BP＝2，CQ＝25，求PQ的长.

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21. 如图，∠EAD是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，且∠EAD＝75°，DB＝DC.

(1)、求∠BDC的度数.

(2)、若⊙O的半径为2，求 $\overset{⌢}{B C}$ 的长.

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22. 如图，在矩形ABCD中，点G在边BC上（不与点B、C重合），连接AG，作DF⊥AG于点F，BE⊥AG于点E.

(1)、若AG＝AD，求证：AB＝DF；

(2)、设 $\frac{B G}{B C}$ ＝k，连接BF、DE，设∠EDF＝α，∠EBF＝β，求 $\frac{t a n a}{t a n β}$ 的值.

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23. 如图，抛物线y＝- $\frac{1}{2}$ x²+mx+2（m＞0）交y轴于点A，BA⊥y轴交抛物线于点B.

(1)、用m的代数式表示AB的长.

(2)、已知m＝1，且点B，C关于原点对称.
①判断点C是否落在抛物线上，并说明理由.
②点P是抛物线上一点，点P关于x轴、y轴的对称点分别为点Q，R，是否存在这样的点P，使得点Q，R恰好都在直线BC上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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