湖北省孝感市孝南区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2023-01-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 现有五张分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、正五边形和圆的五个图形的卡片，它们的背面相同，小梅将它们的背面朝上，从中任意抽出一张，下列说法中正确的是（）

A、“抽出的图形是中心对称图形”属于必然事件 B、“抽出的图形是六边形”属于随机事件 C、抽出的图形为四边形的概率是 $\frac{2}{5}$ D、抽出的图形为轴对称图形的概率是 $\frac{3}{5}$

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2. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦，半径为 $O A = 2$ ， $∠ A O B = 120 °$ ，则弦 $A B$ 的长为（　　）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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3. 用配方法解方程 $x^{2} - 4 x - 3 = 0$ ，下列配方结果正确的是（）．

A、 ${(x - 2)}^{2} = 7$ B、 ${(x - 4)}^{2} = 19$ C、 ${(x + 2)}^{2} = 7$ D、 ${(x + 4)}^{2} = 19$

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4. 如图，圆锥的侧面展开图使半径为3，圆心角为 $90 °$ 的扇形，则该圆锥的底面周长为（）

A、 $\frac{3}{4} π$ B、 $\frac{3}{2} π$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{2}$

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5. 对于实数 $a ， b$ 定义运算“☆”如下： $a ☆ b = a b^{2} - a b$ ，例如 $3 ☆ 2 = 3 \times 2^{2} - 3 \times 2 = 6$ ，则方程 $1 ☆ x = 2$ 的根的情况为（）

A、没有实数根 B、只有一个实数根 C、有两个相等的实数根 D、有两个不相等的实数根

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6. 如图，在 $⊙ O$ 中， $A B$ 是弦， $∠ E = 30 °$ ，半径为4， $O E = 6$ .则 $A B$ 的长（　　）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{7}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数 $y = a x + c$ 和二次函数 $y = a x^{2} + c$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，正方形 $A B C D$ 的顶点A、D在⊙O上，边 $B C$ 与⊙O相切，若正方形 $A B C D$ 的周长记为 $C_{1}$ ，⊙O的周长记为 $C_{2}$ ，则 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 的大小关系为（）

A、 $C_{1} > C_{2}$ B、 $C_{1} < C_{2}$ C、 $C_{1} = C_{2}$ D、无法判断

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二、填空题

9. 在直角坐标系中，点 $A (1 ， - 2)$ 关于原点对称的点的坐标是．

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10. 如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为．

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11. 若二次函数 $y = (x - m)^{2} - 1$ ，当 $x \leq 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小，则 $m$ 的取值范围是.

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12. 将二次函数 $y = x^{2}$ 的图像向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得图像的表达式是.

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13. 若函数y＝（a+1）x²﹣2x+1的图象与x轴只有一个交点，则a为．

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14. 如图是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的一部分，其对称轴为直线 $x = 1$ ，若其与x轴一交点为 $B (3 ， 0)$ ，则由图象可知，不等式 $a x^{2} + b x + c$ $> 0$ 的解集是．

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15. 当 $- 2 ≤ x ≤ 1$ 时，二次函数 $y = (x + m)^{2} + m^{2} + 1$ 有最大值4，则实数m的值为 .

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16. 如图，正方形内接于圆O，已知正方形的边长为 $2 \sqrt{2} c m$ ，则图中的阴影部分的面积是 $c m^{2}$ （用 $π$ 表示）.

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三、解答题

17. 解下列方程

(1)、 $x^{2} + x - 1 = 0$

(2)、 $x (x - 2) + x - 2 = 0$ .

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18. 如图，点A、B的坐标分别为（0，0）、（4，0），将 $△ A B C$ 绕点A按逆时针方向旋转 $90 °$ 得到 $△ A B^{'} C^{'}$ .

(1)、画出 $△ A B^{'} C^{'}$ ；

(2)、写出点C′的坐标.

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19. 如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC，BC分别交于点D，E，过点D作DF⊥BC，垂足为点F.

(1)、求证：DF为⊙O的切线；

(2)、若等边三角形ABC的边长为4，求DF的长；

(3)、求图中阴影部分的面积.

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20. 已知正方形 $A B C D$ 和正方形 $A E F G$ 有一个公共点A，点G、E分别在线段 $A D$ 、 $A B$ 上.

(1)、如图1，连接 $D F$ 、 $B F$ ，若将正方形 $A E F G$ 绕点A按顺时针方向旋转，判断∶“在旋转的过程中线段 $D F$ 与 $B F$ 的长始终相等.”是否正确，若正确请说明理由，若不正确请举反例说明；

(2)、若将正方形 $A E F G$ 绕点A按顺时针方向旋转，连结 $D G$ ，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段 $D G$ 的长始终相等.并以图2为例说明理由.

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21. 在某市开展的环境创优活动中，某居民小区要在一块靠墙（墙长 $15$ 米）的空地上修建一个矩形花园 $A B C D$ ，花园的一边靠墙，另三边用总长为 $40 m$ 的栅栏围成，若设花园平行于墙的一边长为 $x (m)$ ，花园的面积为 $y (m^{2})$ .

(1)、求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)、满足条件的花园面积能达到 $200 m^{2}$ 吗？若能，求出此时x的值，若不能，说明理由；

(3)、根据 $(1)$ 中求得的函数关系式，判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？

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22. 为了实现“畅通市区”的目标，市地铁一号线准备动工，市政府现对地铁一号线第 $15$ 标段工程进行招标，施工距离全长为 $300$ 米.经招标协定，该工程由甲、乙两公司承建，甲、乙两公司施工方案及报价分别为：
（1）甲公司施工单价 $y_{1}$ （万元/米）与施工长度x（米）之间的函数关系为 $y_{1} = 27.8 - 0.09 x$ ，

（2）乙公司施工单价 $y_{2}$ （万元/米）与施工长度x（米）之间的函数关系为 $y_{2} = 15.8 - 0.05 x$ .

（注：工程款 $=$ 施工单价 $\times$ 施工长度）

(1)、如果不考虑其他因素，单独由甲公司施工，那么完成此项工程需工程款多少万元？

(2)、考虑到设备和技术等因素，甲公司必须邀请乙公司联合施工，共同完成该工程.因设备共享，两公司联合施工时市政府可节省工程款 $140$ 万元（从工程款中扣除）.
①如果设甲公司施工 $a$ 米 $(0 < a < 300)$ ，那么乙公司施工________米，其施工单价 $y_{2} =$ ________万元/米，试求市政府共支付工程款P（万元）与a（米）之间的函数关系式；
②如果市政府支付的工程款为 $2 900$ 万元，那么应将多长的施工距离安排给乙公司施工？

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23. “五一”节期间，小明和同学一起到游乐场游玩.如图为某游乐场大型摩天轮的示意图，其半径是20m，它匀速旋转一周需要24分钟，最底部点B离地面1m.小明乘坐的车厢经过点B时开始计时.

(1)、计时4分钟后小明离地面的高度是多少？

(2)、在旋转一周的过程中，小明将有多长时间连续保持在离地面31m以上的空中？

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24. 如图，y关于x的二次函数 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3 m} (x + m) (x - 3 m)$ 图象的顶点为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点.以 $A B$ 为直径作圆，圆心为C.定点E的坐标为 $(- 3 ， 0)$ ，连接 $E D$ . $(m > 0)$

(1)、写出A、B、D三点的坐标；

(2)、当m为何值时M点在直线 $E D$ 上？判定此时直线与圆的位置关系；

(3)、当m变化时，用m表示 $△ A E D$ 的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图.

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