2012年高考理数真题试卷（浙江卷）

试卷更新日期：2016-09-26 类型：高考真卷

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一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x²﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁_RB）=（）

A、（1，4） B、（3，4） C、（1，3） D、（1，2）∪（3，4）

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2. 已知i是虚数单位，则 $\frac{3 + i}{1 - i}$ =（）

A、1﹣2i B、2﹣i C、2+i D、1+2i

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3. 设a∈R，则“a=1”是“直线l₁：ax+2y﹣1=0与直线l₂：x+（a+1）y+4=0平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个非零向量．则下列命题为真命题的是（）

A、若| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |=| $\vec{a}$ |﹣| $\vec{b}$ |，则 $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ B、若 $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ ，则| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |=| $\vec{a}$ |﹣| $\vec{b}$ | C、若| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |=| $\vec{a}$ |﹣| $\vec{b}$ |，则存在实数λ，使得 $\vec{b}$ =λ $\vec{a}$ D、若存在实数λ，使得 $\vec{b}$ =λ $\vec{a}$ ，则| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |=| $\vec{a}$ |﹣| $\vec{b}$ |

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6. 若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）

A、60种 B、63种 C、65种 D、66种

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7. 设S_n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a_n}的前n项和，则下列命题错误的是（）

A、若d＜0，则数列{S_n}有最大项 B、若数列{S_n}有最大项，则d＜0 C、若数列{S_n}是递增数列，则对任意n∈N^* ，均有S_n＞0 D、若对任意n∈N^* ，均有S_n＞0，则数列{S_n}是递增数列

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8.
如图，F₁ ， F₂分别是双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a，b＞0）的在左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F₁B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF₂|=|F₁F₂|，则C的离心率是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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9. 设a＞0，b＞0，下列命题中正确的是（）

A、若2^a+2a=2^b+3b，则a＞b B、若2^a+2a=2^b+3b，则a＜b C、若2^a﹣2a=2^b﹣3b，则a＞b D、若2^a﹣2a=2^b﹣3b，则a＜b

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10. 已知矩形ABCD，AB=1，BC= $\sqrt{2}$ ．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）

A、存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直 B、存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 C、存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 D、对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直

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二、填空题

11. 已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于 cm³ ．

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12. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是．

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13. 设公比为q（q＞0）的等比数列{a_n}的前n项和为S_n ．若S₂=3a₂+2，S₄=3a₄+2，则q= ．

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14. 若将函数f（x）=x⁵表示为f（x）=a₀+a₁（1+x）+a₂（1+x）²+…+a₅（1+x）⁵ ，其中a₀ ， a₁ ， a₂ ， …a₅为实数，则a₃= ．

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15. 在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则 $\vec{A B}$ • $\vec{A C}$ = ．

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16. 定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C₁：y=x²+a到直线l：y=x的距离等于曲线C₂：x²+（y+4）²=2到直线l：y=x的距离，则实数a= ．

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17. 设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x²﹣ax﹣1）≥0，则a= ．

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三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA= $\frac{2}{3}$ ，sinB= $\sqrt{5} \cos$ C．

(1)、求tanC的值；

(2)、若a= $\sqrt{2}$ ，求△ABC的面积．

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19. 已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．

(1)、求X的分布列；

(2)、求X的数学期望E（X）．

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20. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的菱形，∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=2 $\sqrt{6}$ ，M，N分别为PB，PD的中点．

(1)、证明：MN∥平面ABCD；

(2)、过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值．

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21. 如图，椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，其左焦点到点P（2，1）的距离为 $\sqrt{10}$ ，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、求△APB面积取最大值时直线l的方程．

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22. 已知a＞0，b∈R，函数f（x）=4ax³﹣2bx﹣a+b．

(1)、证明：当0≤x≤1时，
（i）函数f（x）的最大值为|2a﹣b|+a；
（ii）f（x）+|2a﹣b|+a≥0；

(2)、若﹣1≤f（x）≤1对x∈[0，1]恒成立，求a+b的取值范围．

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