陕西省宝鸡市金台区2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-01-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合A= ${x | - 2 \leq x < 3}$ ， B= ${x | x < - 1}$ ，那么集合A∩B等于（）

A、 ${x | - 1 < x < 3}$ B、 ${x | x \leq - 1 或 x > 3}$ C、 ${x | - 2 \leq x < - 1}$ D、 ${x | - 1 \leq x < 3}$

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2. “ $x + y > 0$ ”是“ $x > 0 ， y > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 命题“对任意x∈R，都有x²≥1”的否定是（）

A、对任意x∈R，都有x²<1 B、不存在x∈R，使得x²<1 C、存在x∈R，使得x²≥1 D、存在x∈R，使得x²<1

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4. 以下给出了四组函数：
（1） $y = \sqrt{x^{2}}$ 与 $y = (\sqrt{x})^{2}$        （2） $y = | x |$ 与 $m = \sqrt{n^{2}}$
（3） $y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ 与 $y = x + 1$        （4） $u = \sqrt{v + 1} \cdot \sqrt{v - 1}$ 与 $m = \sqrt{n^{2} - 1}$
其中有（    ）组函数是同一个函数

A、4 B、3 C、2 D、1

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5. 设 $b > a > 0$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $0 < \frac{a}{b} < 1$ C、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ 的最小值为2 D、 $\frac{b}{a} < \frac{a}{b}$

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6. 以下判断中错误的是（）

A、设 $A$ 为所有亚洲国家的集合，则新加坡 $2 - 2 a > 0$ ； B、设集合 $U = {a ， b ， c ， d ， e}$ ，集合 $A$ 满足 $∁_{U} A =$ ${a ， c}$ ，则 $e \notin A$ ； C、 ${(x ， y) | {\begin{array}{l} x - y = 1 \\ x + y = 3 \end{array}} = {(2 ， 1)}$ ； D、 ${x | x = 6 k ， k \in$ $N$ $}$ ${x | x = 3 z ， z \in$ $N$ $}$ ；

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 1 ， x \leq 0 \\ \frac{1}{x} - 100 ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f (f (\frac{1}{100})) =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{10}$ C、 $\frac{1}{100}$ D、1

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8. 不等式 $m x^{2} + 4 m x - 4 < 0$ 对于 $\forall x \in R$ 恒成立，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $- 1 < m \leq 0$ B、 $- 1 < m < 0$ C、 $- 1 \leq m < 0$ D、 $- 1 \leq m \leq 0$

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9. 以下给出了4个命题：
（1） $\forall x \in$ $R$ ， $x + 3 > 0$ ；
（2） $\exists x \in$ $R$ ， $x^{2} - x - 2 = 0$ ；
（3）若奇函数 $g (x)$ 在 $[- 2 ， - 1]$ 上单调递增，则它在 $[1 ， 2]$ 上单调递减；
（4）若偶函数 $f (x)$ 在 $[1 ， 3]$ 上单调递增，则它在 $[- 3 ， - 1]$ 上单调递减；
其中真命题的个数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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10. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且 $x \leq 0$ 时， $f (x) = 3 x^{2} - 2 x + m$ ，则 $f (x)$ 在 $[1 ， 2]$ 上的最大值为（）

A、1 B、8 C、 $- 5$ D、 $- 16$

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二、填空题

11. 已知函数 $f (x)$ 是偶函数，且其在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增．请你写出一个符合以上条件的函数．

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12. 已知集合 $V = {x \in$ $Z$ $| - 2 < x \leq 6}$ ， $A = {x \in$ $Z$ $| - 1 < x < 3}$ ， $B = {x \in$ $N$ $| 2 < x \leq 5}$ ，则 $(∁_{V} A) ∪ B =$ ．

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13. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - x - 6}}{| x - 4 |}$ 的定义域为．

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14. 已知幂函数过点 $(4 ， 2)$ ，则函数的解析式是．

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15. 以下是函数最大值的定义：
一般地，设函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $D$ ，如果存在实数 $M$ 满足：
（1） $\forall x \in D$ ，都有 $f (x) \leq M$ ；
（2） $\exists x_{0} \in D$ ，使得 $f (x_{0}) = M$ ．

那么，我们称 $M$ 是函数 $y = f (x)$ 的最大值（maximum value）．

请你仿照以上定义，给出函数 $y = f (x)$ 的最小值（minimum value）的定义：．

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三、解答题

16.

(1)、用描点法在同一个坐标系下画出函数 $f (x) = - x$ 和 $g (x) = - \frac{1}{x}$ 的图象；

(2)、观察这两个函数的图象，从函数性质（定义域、值域、奇偶性、单调性）的角度，你能发现哪些共同点？

(3)、请你用符号语言精确地描述以上共同点．

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17.

(1)、比较 $\frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{a}}$ 与 $\sqrt{a} + \sqrt{b} (a ＞ 0 ， b ＞ 0)$ 的大小；

(2)、简要小结你解答第（1）问所用的方法．

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 a x + 1$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $x \in [- 2 ， 2]$ 上的最大值与最小值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $x \in [- 1 ， 2]$ 上的最大值为4，求实数 $a$ 的值．

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19.

(1)、在面积为定值 $S$ 的矩形中，边长是多少时矩形的周长最小？

(2)、在周长为定值 $P$ 的矩形中，边长是多少时矩形的面积最大？

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20. 某车间生产一种仪器的固定成本是7500元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数 $H (x) = {\begin{array}{l} 400 x - x^{2} ， & 0 \leq x \leq 200 \\ 40000 ， & x > 200 \end{array}$ ，其中x是仪器的月产量.（利润=总收入—总成本）.

(1)、将利润表示为月产量x的函数；

(2)、当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润是多少元？

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