陕西省宝鸡市金台区2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-01-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列命题为假命题的是（）

A、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ B、若 $a > b ， c < d$ ，则 $a - c > b - d$ C、若 $a > b ， c > d$ ，则 $a c > b d$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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2. 设 $m = x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y ， n = - 5$ ，则 $m$ 与 $n$ 的大小关系是（）

A、 $m < n$ B、 $m > n$ C、 $m = n$ D、与 $x ， y$ 的取值有关

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3. 在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情况为（）

A、一个解 B、二个解 C、无解 D、无法确定

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4. 不等式 $(x + 3) {(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{3} \geq 0$ 解集为（）

A、 ${x | x \leq - 3$ 或 $x \geq 2}$ B、 ${x | x \leq - 3$ 或 $x \geq 1}$ C、 ${x | - 3 \leq x \leq 1$ 或 $x \geq 2}$ D、 ${x | x \leq - 3$ 或 $x = 1$ 或 $x \geq 2}$

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5. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前3项和为 $168 ， a_{5} - a_{2} = - 42$ ，则 $a_{4} =$ （）

A、24 B、12 C、6 D、3

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6. 等比数列 ${a_{n}}$ 中，首项为 $a_{1}$ ，公比为q，则下列条件中，是 ${a_{n}}$ 一定为递减数列的条件是（）

A、 $| q | < 1$ B、 $a_{1} > 0$ ， $q < 1$ C、 $a_{1} > 0$ ， $0 < q < 1$ 或 $a_{1} < 0$ ， $q > 1$ D、 $q > 1$

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7. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $\frac{a_{n}}{a_{n - 1}} = 2 \cdot \frac{n - 1}{n} (n ⩾ 2)$ ，则 $a_{10} =$ （）

A、 $\frac{2^{9}}{10}$ B、 $\frac{2^{8}}{9}$ C、 $\frac{2^{8}}{9}$ D、 $\frac{2^{6}}{7}$

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8. 下列函数中，最小值为4的是（）

A、 $y = x + \frac{4}{x}$ B、 $y = 2^{x} + 2^{2 - x}$ C、 $y = l g x + \frac{4}{l g x} (1 < x < 10)$ D、 $y = s i n x + \frac{4}{s i n x} (0 < x < π)$

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9. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{4} = 48 ， S_{8} = 60$ ，则 $S_{12} =$ （）

A、83 B、108 C、75 D、63

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10. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 对应的边分别是 $a ， b ， c$ ，若 $\vec{m} = (b + c ， a) ， \vec{n} = (b + c ， - a)$ ，且 $\vec{m} \cdot \vec{n} = 3 b c$ ，则 $A =$ （）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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11. 计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”．如 $(1101)_{2}$ 表示一个二进制数，将它转换成十进制的数就是 $1 \times 2^{3} + 1 \times 2^{2} + 0 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0} = 13$ ，那么将二进制数 $\underset{16 位}{\underset{︸}{11 … 1}}$ 转换成十进制数就是（）

A、 $2^{17} - 2$ B、 $2^{16} - 1$ C、 $2^{16} - 2$ D、 $2^{15} - 1$

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12. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d \neq 0$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{6} = S_{10}$ ，则下列说法不正确的是（）

A、 $a_{8} = 0$ B、 $S_{16} = 0$ C、若 $d > 0$ ，则 $a_{8} + a_{10} > 0$ D、若 $d < 0$ ，则 $| a_{8} | < | a_{12} |$

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二、填空题

13. 若函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 2 x - 3}$ 定义域为 $A$ ，函数 $g (x) = l o g_{2} \frac{x + 2}{2 - x}$ 定义域为 $B$ ，则 $A ∩ B =$ ．

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14. 设 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + 2 y \leq 4 \\ x - y \leq 1 \\ x + 2 \geq 0 \end{array}$ ，则目标函数 $z = 3 x - y$ 的最大值为.

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15. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a ， b ， c$ ，若 $b + c = 6$ ， $s i n B + s i n C = 3 s i n \frac{B + C}{2} c o s \frac{B + C}{2}$ ，则 $Δ A B C$ 面积的最大值为.

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16. 若 $a ， b$ 都是正数，且 $2 a + 8 b = a b$ ，则 $a + b$ 的最小值为， $a b$ 的最小值为．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，数列 ${b_{n}}$ 是等差数列，且 $b_{1} = a_{2}$ ， $b_{3} = a_{2} + a_{3} + a_{4}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式 $；$

(2)、设 $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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18. 圆内接四边形 $A B C D$ 的边长分别为 $A B = 3 ， B C = 5 ， C D = D A = 7$ ．求四边形 $A B C D$ 的面积及圆的半径．

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19. 解关于 $x$ 的不等式： $a x^{2} + 2 x + 1 > 0 (a \in R)$ ．

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20. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = 3 ， \frac{S_{n}}{n} + n = a_{n} + 1$ ．

(1)、证明数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{S_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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