广东省东莞市五校2022-2023学年高一上学期数学11月期中联考试卷

试卷更新日期：2023-01-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列元素与集合的关系中，正确的是（）

A、 $- 1 \in N$ B、 $0 \notin N^{*}$ C、 $\sqrt{3} \in Q$ D、 $\frac{2}{5} \notin R$

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2. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， \sqrt{m}}$ ， $B = {- 1 ， m}$ ， $B ⊆ A$ ，则 $m =$ （）

A、0 B、1 C、0或1 D、 $- 1$

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3. “ $x^{2} - x - 6 < 0$ ”是“ $0 < x < 2$ ”的（　　）

A、必要而不充分条件 B、充分而不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知命题p： $\forall x \in [0 ， 2]$ ， $x^{2} - 3 x + 2 > 0$ ，则 $￢ p$ 是（　　）

A、 $\exists x \in [0 ， 2]$ ， $x^{2} - 3 x + 2 < 0$ B、 $\exists x \in [0 ， 2]$ ， $x^{2} - 3 x + 2 \leq 0$ C、 $\exists x \in (- \infty ， 0) ∪ (2 ， + \infty)$ ， $x^{2} - 3 x + 2 \leq 0$ D、 $\forall x \in [0 ， 2]$ ， $x^{2} - 3 x + 2 \leq 0$

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5. 函数 $f (x) = \frac{2 x + 1}{\sqrt{3 x - 2}} + (x - 1)^{0}$ 的定义域为（）

A、 $(\frac{2}{3} ， + \infty)$ B、 $(\frac{2}{3} ， 1) \cup (1 ， + ∞)$ C、 $[\frac{2}{3} ， 1) \cup (1 ， + ∞)$ D、 $[- \frac{2}{3} ， + \infty)$

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6. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x - 3 ， x \geq 10 \\ f (f (x + 4)) ， x < 10 \end{array}$ ，则 $f (9) =$ （）

A、6 B、7 C、9 D、10

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7. 给出幂函数：①f(x)＝x；②f(x)＝x²；③f(x)＝x³；④f(x)＝ $\sqrt{x}$ ；⑤f(x)＝ $\frac{1}{x}$ .其中满足条件 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) > \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ (x₁>x₂>0)的函数的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - a x - 5 ， (x \leq 1) \\ \frac{a}{x} ， (x > 1) \end{array}$ 满足对任意实数 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > 0$ 成立，则 $α$ 的取值范围是（）

A、 $- 3 \leq a < 0$ B、 $a \leq - 2$ C、 $- 3 ≤ a ≤ - 2$ D、 $a < 0$

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二、多选题

9. 以下结论正确的是（）

A、函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 的最小值是2； B、若 $a ， b \in R$ 且 $a b > 0$ ，则 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ ； C、 $y = \sqrt{x^{2} + 3} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ 的最小值是2； D、函数 $y = 2 + x + \frac{1}{x} (x < 0)$ 的最大值为0．

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10. 已知 $a ， b ， c \in R$ ，下列命题为真命题的是（）

A、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} < a b < b^{2}$ B、若 $a > b$ ，则ac²>bc² C、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ D、若 $a > b > 1$ ，则 $\frac{b + 1}{a + 1} > \frac{b}{a}$

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11. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为D，若存在区间[m，n]⊆D使得 $f (x)$ ：
（1） $f (x)$ 在 $[m ， n]$ 上是单调函数；
（2） $f (x)$ 在 $[m ， n]$ 上的值域是 $[2 m ， 2 n]$ ，则称区间 $[m ， n]$ 为函数 $f (x)$ 的“倍值区间”．
下列函数中存在“倍值区间”的有（　　）

A、 $f (x) = x^{2}$ B、 $f (x) = \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = \frac{3 x}{x^{2} + 1}$

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12. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，且 $f (x + 1)$ 为奇函数， $f (x + 2)$ 为偶函数，且对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in (1 ， 2)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > 0$ ，则下列结论正确的是（　　）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (1023) = 0$ C、 $f (x)$ 的图像关于 $(1 ， 0)$ 对称 D、 $f (- \frac{7}{4}) > f (\frac{19}{8})$

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三、填空题

13. 不等式 $- 3 x^{2} + 6 x > 2$ 的解集为．

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14. 已知集合 $A = {x | 1 < x \leq a}$ ， $B = {x | 1 < x < 2}$ ，若 $A \cup B = A$ ，则实数a的取值范围是．

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15. 已知定义在 $R$ 上的减函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (- x) = 0 ， P (- 1 ， 2)$ 是其图象上一点，那么 $| f (x + 1) | < 2$ 的解集为.

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16. 定义在 $[0 ， + ∞)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = \frac{1}{2} f (x)$ ，当 $x \in [0 ， 2)$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ ，若直线 $y = a$ 与 $f (x)$ 的图象恰有 $8$ 个交点 $(x_{1} ， y_{1})$ 、 $(x_{2} ， y_{2})$ 、 $⋯$ 、 $(x_{8} ， y_{8})$ ，则 $x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{8} =$ ； $a$ 的取值范围为．

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四、解答题

17. 已知全集为R，集合 $A = {x | 2 < x \leq 6}$ ，集合 $B = {x | 3 \leq x < 10}$ ， $D = {x | x^{2} - 3 x - 4 \leq 0}$ .

(1)、求 $A \cup B$ ；

(2)、求 $B \cap (∁_{R} D)$

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18. 已知 $f (x)$ 是定义在 $[- 1 ， 1]$ 上的偶函数，且 $x \in [- 1 ， 0]$ 时， $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的表达式；

(2)、判断并证明函数在区间 $[- 1 ， 0]$ 上的单调性．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + a}{x}$ .

(1)、若 $g (x) = f (x) - 2$ ，判断 $g (x)$ 的奇偶性并加以证明.

(2)、若对任意 $x \in [1 ， + ∞) ， f (x) > 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 已知二次函数 $f (x) = x^{2} + b x + c$ ，不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 $(- 1 ， 2)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $(a + 1) x^{2} - 2 a x > f (x) + 4$ （其中 $a \in R$ ）．

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21. 2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元 $(m \geq 0)$ 满足 $x = 4 - \frac{k}{m + 1}$ （k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按 $\frac{8 + 16 x}{x}$ 元来计算）

(1)、将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)、该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？

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22. 设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，对任意的 $x ， y \in R$ ，恒有 $f (x + y) = f (x) \cdot f (y)$ ，且当 $x > 0$ 时， $0 < f (x) < 1$ ．

(1)、求 $f (0)$ ．

(2)、证明： $x \in R$ 时，恒有 $f (x) > 0$ ．

(3)、求证： $f (x)$ 在 $R$ 上是减函数．

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