福建省福州市三校2022-2023学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2023-01-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 函数 $f (x) = \sqrt{x + 1} - \frac{1}{x}$ 的定义域是（）

A、 $R$ B、 $[- 1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ D、 $[- 1 ， 0) \cup (0 ， + \infty)$

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2. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(4 ， 2)$ ，则 $f (\frac{1}{4}) =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3. 设 $a ， b$ 为实数，则“ $a - b > 0$ “是” $a^{2} - b^{2} > 0$ “的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 设表格表示的函数为 $y = f (x)$ ，关于此函数下列说法正确的是（）

x

0.1

0.2

0.5

0.8

0.9

y

1

0

1

0

1

A、 $f (x)$ 的定义域是 $(0 ， 1)$ B、 $f (f (0.1) - 0.8 f (0.5)) = 1$ C、 $f (x)$ 的值域是 ${0 ， 1}$ D、 $f (x)$ 的图象无对称轴

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5. 已知 $f (x)$ 定义在 $R$ 上的偶函数，且在 $[0 ， + ∞)$ 上是减函数，则满足 $f (a - 1) > f (2)$ 的实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 3]$ B、 $(- 1 ， 3)$ C、 $(- 1 ， + \infty)$ D、 $(1 ， 3)$

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6. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{| x - 1 |}$ B、 $f (x) = \frac{1}{| | x | - 1 |}$ C、 $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ D、 $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (a - 1) x + 2 a ， x < 0 \\ x^{2} - 2 x ， x \geq 0 \end{array}$ 有最小值，则a的的取值范围是（）

A、 $[- \frac{1}{2} ， 1)$ B、 $(- \frac{1}{2} ， 1)$ C、 $[- \frac{1}{2} ， 1]$ D、 $(- \frac{1}{2} ， 1]$

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8. 函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a ， b)$ 成中心对称的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x) = 2 x + 1$ 关于 $(\frac{1}{2} ， 0)$ 中心对称 B、 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ 关于 $(1 ， 2)$ 中心对称 C、函数 $y = f (x)$ 的图象关于 $x = a$ 成轴对称的充要条件是 $y = f (x + a)$ 为偶函数 D、 $f (x) = x^{2} - 2 x + 5$ ，则 $f (x - 1)$ 为偶函数

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二、多选题

9. 下列命题正确的是（）

A、存在 $x < 0$ ， $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ B、对于一切实数 $x < 0$ ，都有 $| x | > x$ C、 $\forall x \in R$ ， $\sqrt{x^{2}} = x$ D、 $x = 1$ 是 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 充要条件

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10. 若函数 $f (x)$ 同时满足：①对于定义域上的任意 $x$ ，恒有 $f (x) + f (- x) = 0$ ；②对于定义域上的任意 $x_{1} ， x_{2}$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，恒 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，则称函数 $f (x)$ 为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（）

A、 $f (x) = - x$ B、 $f (x) = - \sqrt[3]{x}$ C、 $f (x) = x^{3} + x$ D、 $f (x) = \frac{2}{3} - x$

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11. 为预防流感病毒，我校每天定时对教室进行喷洒消毒.当教室内每立方米药物含量超过0.25mg时能有效杀灭病毒.已知教室内每立方米空气中的含药量 $y$ （单位：mg）随时间 $x$ （单位：h）的变化情况如图所示：在药物释放过程中， $y$ 与 $x$ 成正比；药物释放完毕后， $y$ 与 $x$ 的函数关系式为： $y = \frac{a}{x}$ （ $a$ 为常数），则下列说法正确的是（）

A、当 $0 \leq x \leq 0.2$ 时， $y = 5 x$ B、当 $x > 0.2$ 时， $y = \frac{1}{5 x}$ C、教室内持续有效杀灭病毒时间为 $\frac{4}{5}$ 小时 D、喷洒药物3分钟后开始进行有效灭杀病毒

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12. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a b + a + b = 3$ ，则下列所求各式的范围正确的是（）

A、 $a b \leq 1$ B、 $a + b \geq 2$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2$ D、 $a + b + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \leq 4$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = 2 x^{2} - k x - 8$ 在区间 $[2 ， 5]$ 上不单调，则 $k$ 的范围是.

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14. 已知集合 $A = {1 ， 3 ， a^{2}}$ ，集合 $B = {1 ， a + 2}$ ，若 $C_{A} B = {3}$ ，则 $a$ 的值为.

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15. 关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - 4 x + 4 a \geq a^{2}$ 在 $[1 ， 6]$ 内有解，则 $a$ 的取值范围为．

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16. 若使集合 $A = {x | (k x - k^{2} - 2 k - 2) (2 x - 5) > 0 ， x \in Z}$ 中的元素个数最少，则实数 $k$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | - 2 \leq x \leq 5} ， B = {x | m - 1 \leq x \leq 2 m + 3}$ .

(1)、若 $m = 4$ ，求 $A ∪ B$ ；

(2)、若 $A ∩ B = B$ ，求实数m的取值范围.

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18. 命题 $p ：$ 关于 $x$ 的方程 $x^{2} + x + m = 0$ 有两个相异负根；命题 $q ： \exists x \in R ， x^{2} - 3 m x + 9 < 0$ .

(1)、若命题 $q$ 为假命题，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若这两个命题有且仅有一个为真命题，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 已知奇函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 2 x ， (x > 0) \\ 0 ， (x = 0) \\ x^{2} + m x ， (x < 0) \end{array}$ ．

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、作出 $y = f (x)$ 的图象，并求出函数 $y = f (x)$ 在 $[- 2 ， 1)$ 上的最值；

(3)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， b - 2]$ 上单调递增，求 $b$ 的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} + \frac{2}{x}$ ．

(1)、求f(1)，f(2)的值；

(2)、设a＞b＞1，试比较f（a），f（b）的大小，并说明理由；

(3)、若关于x的不等式 $f (x - 1) \geq 2 (x - 1) + \frac{2}{x - 1} + m$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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21. 2021年3月1日，国务院新闻办公室举行新闻发布会，工业和信息化部提出了芯片发展的五项措施，进一步激励国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．根据市场调查某数码产品公司生产某款运动手环的年固定成本为50万元，每生产1万只还需另投入20万元．若该公司一年内共生产该款运动手环 $x$ 万只并能全部销售完，平均每万只的销售投入为 $R (x)$ 万元，且 $R (x) = {\begin{matrix} 100 - k x ， 0 < x \leq 20 \\ \frac{2100}{x} - \frac{9000 k}{x^{2}} ， x > 20 \end{matrix}$ ．当该公司一年内共生产该款运动手环5万只并全部销售完时，年利润为300万元．

(1)、求出 $k$ 的值并写出年利润 $W$ （万元）关于年产量 $x$ （万部）的函数解析式 $W (x)$ ；

(2)、当年产量为多少万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．

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22. 设函数 $y = f (x)$ 是定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的减函数，并且满足 $f (x y) = f (x) + f (y)$ ， $f (\frac{1}{2}) = 1$

(1)、求 $f (1)$ 和 $f (2)$ 的值

(2)、如果 $f (\frac{x}{8}) + f (x - 1) < 2$ ，求 $x$ 的取值范围

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x	0.1	0.2	0.5	0.8	0.9
y	1	0	1	0	1