山东省青岛市市内四区普通高中2022-2023学年高一上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-01-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 1 < 2^{x} \leq 16} ， B = {x | \frac{x - 1}{x - 6} \geq 0}$ ，则 $A \cap C_{R} B$ ＝（）

A、{x|1＜x≤4} B、{x|0＜x≤6} C、{x|0＜x＜1} D、{x|4≤x≤6}

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2. 下列哪个函数的定义域与函数 $y = {(\frac{1}{2})}^{x}$ 的值域相同（）

A、 $y = 2^{x}$ B、 $y = x + \frac{1}{x}$ C、 $y = x^{\frac{1}{2}}$ D、 $y = l n x - x$

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3. 若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则“ $a b \leq 4$ ”是“ $a + b \leq 4$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象经过点 $(3 ， \sqrt[3]{3})$ ，则 $l o g_{\frac{1}{3}} f (3)$ 的值是（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、1 C、 $\frac{1}{3}$ D、-1

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5. 已知实数 $a = l o g_{2} 3$ ， $b = c o s \frac{π}{4}$ ， $c = l o g_{3} 2$ ，则这三个数的大小关系正确的是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $b > c > a$ D、 $a > c > b$

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6. 函数 $y = 2^{x} - s i n 2 x$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 若 $θ$ 为第二象限角，且 $t a n (θ - π) = - \frac{1}{2}$ ，则 $\sqrt{\frac{1 + c o s θ}{1 - s i n (\frac{π}{2} - θ)}} - \sqrt{\frac{1 - c o s θ}{1 + s i n (θ - \frac{3 π}{2})}}$ 的值是（）

A、4 B、-4 C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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8. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，图象恒过 $(1 ， 1)$ 点，对任意 $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > - 1$ 则不等式 $f [l o g_{2} (2^{x} - 1)] < 2 - l o g_{2} (2^{x} - 1)$ 的解集为（）

A、 $(0 ， + ∞)$ B、 $(- \infty ， l o g_{2} 3)$ C、 $(- \infty ， 0) ∪ (0 ， l o g_{2} 3)$ D、 $(0 ， l o g_{2} 3)$

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9. 截至2022年12月12日，全国新型冠状病毒的感染人数突破10000000人．疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题．
新型冠状病毒肺炎以发热、干咳、乏力等为主要表现，重者快速进展为急性呼吸窘迫综合征、脓毒症休克、难以纠正的代谢性酸中毒和出凝血功能障碍及多器官功能衰竭等．专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间 $t$ （单位：天）与病情爆发系数 $f (t)$ 之间，满足函数模型： $f (t) = \frac{1}{1 + e^{- 0.22 (t - 50)}}$ ，当 $f (t) = 0.1$ 时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时 $t$ 约为（）（参考数据： $e^{1.1} \approx 3)$

A、38 B、40 C、45 D、47

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二、多选题

10. 下列命题为真命题的是（）

A、若 $a < b < 1$ ，则 $\frac{1}{1 - a} > \frac{1}{1 - b}$ B、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} > a b > b^{2}$ C、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、 $l g x < 0$ 是 $x < 1$ 的充分不必要条件

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11. 下列说法错误的是（）

A、命题“存在 $x \in R$ ，使得不等式 $x^{2} + x + 1 < 0$ 成立”的否定是“任意 $x \in R$ ，都有不等式 $x^{2} + x + 1 > 0$ 成立” B、已知 $2 < a + b < 4$ ， $0 < a - b < 2$ ，则 $3 < 3 a + b < 11$ C、“ $(x - 2) (x - 3) \leq 0$ 成立”是“ $| x - 2 | + | x - 3 | = 1$ 成立”的充要条件 D、关于x的方程 $x^{2} + (m - 3) x + m = 0$ 有一个正根，一个负根的充要条件是 $m \in (0 ， + \infty)$

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12. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，则下列正确的是（）

A、 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{2 π}{3})$ B、 $f (2021 π) = 1$ C、函数 $y = | f (x) |$ 为偶函数 D、 $\forall x \in R ， f (\frac{π}{6} + x) + f (\frac{π}{6} - x) = 0$

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13. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} 2^{x} + 1 ， x \leq 0 \\ | l o g_{2} x | - 1 ， x > 0 \end{cases}$ ，则方程 $f^{2} (x) - 2 f (x) + a^{2} - 1 = 0$ 的根的个数可能为（）

A、2 B、6 C、5 D、4

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三、填空题

14. 方程 $l g (\sqrt{3} s i n x) = l g (c o s x)$ 的解集为.

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15. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，满足 $x^{2} + 2 x y - 2 = 0$ ，则 $2 x + y$ 的最小值是．

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16. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x + 6 ， x \leq 2 \\ 3 + \log_{a} x ， x > 2 \end{array}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的值域是 $[4 ， + \infty)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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17. 已知函数 $f (x) = l o g_{\frac{1}{2}} x + a$ ， g（x）＝x²-2x，若 $\forall x_{1} \in [\frac{1}{4} ， 2]$ ， $\exists x_{2} \in [- 1 ， 2]$ ，使得f（x₁）＝g（x₂），则实数a的取值范围是．

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18. 病毒的直径很小，而在0.3微米的粒径下，可以达到 $95 %$ 以上过滤效率的防雾霾囗罩，可以防新型冠状病毒．所以疫情防控之下，人们需要佩戴好口罩．数学应用调研小组在2019年调查到某种口罩总产量 $y$ 与时间 $x$ （年）的函数图象（如图），并做出预测．假设预测成立，以下给出了关于该口罩生产状况的几点判断正确的是（填写序号）
①前三年的年产量逐步增加；
②前三年的年产量逐步减少；
③后两年的年产量与第三年的年产量相同；
④后两年均没有生产．

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四、解答题

19. 完成下列计算：

(1)、已知 $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = 2$ ，求 $x + x^{- 1}$ 的值

(2)、求 $2^{l o g_{2} \frac{1}{4}} + {(\frac{16}{9})}^{- \frac{1}{2}} + l g 20 - l g 2 - l o g_{3} 2 \cdot l o g_{2} 3$ 的值

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20. 已知 $α \in (\frac{π}{2} ， \frac{3}{4} π)$ ，且 $s i n α - c o s α = \frac{2 \sqrt{10}}{5}$ .

(1)、求 $t a n α + \frac{1}{t a n α}$ 的值；

(2)、求 $\frac{c o s (\frac{π}{2} - α) - 2 c o s (α + π)}{- s i n (- α) + c o s (2 π - α)}$ 的值.

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21. 已知 $f (x) = 3 s i n (- 2 x + \frac{π}{6})$ ．

(1)、写出 $f (x)$ 的最小正周期及 $f (\frac{π}{2})$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递增区间及对称轴．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{x - 2 b}{x^{2} + 1} (- 1 ≤ x ≤ 1)$ ，且 $f (x)$ 为奇函数．

(1)、求b，然后判断函数 $f (x)$ 的单调性并用定义加以证明；

(2)、若 $f (k - 1) + f (2 k - 1) < 0$ 恒成立，求实数k的取值范围．

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23. 某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产 $x$ 千件，需另投入成本为 $C (x)$ ，当年产量不足80千件时， $C (x) = \frac{1}{3} x^{2} + 10 x$ （万元）．当年产量不小于80千件时， $C (x) = 51 x + \frac{10000}{x} - 1450$ （万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．

(1)、写出年利润 $L (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （千件）的函数解析式；

(2)、当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

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24. 若函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的图象均连续不断， $f (x)$ 和 $g (x)$ 均在任意的区间上不恒为0， $f (x)$ 的定义域为 $I_{1}$ ， $g (x)$ 的定义域为 $I_{2}$ ，存在非空区间 $A \subseteq (I_{1} \cap I_{2})$ ，满足： $\forall x \in A$ ，均有 $f (x) g (x) \leq 0$ ，则称区间A为 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的“ $Ω$ 区间”

(1)、写出 $f (x) = \sin x$ 和 $g (x) = \cos x$ 在 $[0, π]$ 上的一个“ $Ω$ 区间”(无需证明)；

(2)、若 $f (x) = x^{3}$ ， $[- 1, 1]$ 是 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的“ $Ω$ 区间”，证明： $g (x)$ 不是偶函数；

(3)、若 $f (x) = \frac{π \ln x}{e^{x - \frac{1}{e}}} + x + \sin 2 x$ ，且 $f (x)$ 在区间 $(0, 1]$ 上单调递增， $(0, + \infty)$ 是 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的“ $Ω$ 区间”，证明： $g (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上存在零点.

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