辽宁省大连市2023届高三上学期数学期末双基测试试卷

试卷更新日期：2023-01-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $B = {x | \frac{x - 1}{2} \in Z}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${5}$ B、 ${3 ， 5}$ C、 ${1 ， 3 ， 5}$ D、 ${2 ， 4}$

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2. $i$ 是虚数单位，若复数 $z = \frac{5}{4 + 3 i}$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $\frac{4}{5} + \frac{3}{5} i$ B、 $\frac{4}{5} - \frac{3}{5} i$ C、 $- \frac{4}{5} + \frac{3}{5} i$ D、 $- \frac{4}{5} - \frac{3}{5} i$

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3. 已知命题 $p ： \exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} - x_{0} + 1 < 0$ ，则 $\neg p$ 是（）

A、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} - x_{0} + 1 \geq 0$ B、 $\forall x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} - x_{0} + 1 < 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 \geq 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 > 0$

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4. 开普勒（Johannes Kepler，1571~1630），德国数学家、天文学家，他发现所有行星运行的轨道与公转周期的规律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等.已知金星与地球的公转周期之比约为2：3，地球运行轨道的半长轴为a，则金星运行轨道的半长轴约为（）

A、0.66a B、0.70a C、0.76a D、0.96a

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5. 若二项式 ${(a x + \frac{1}{x^{2}})}^{6} (a > 0)$ 的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（）

A、10 B、15 C、25 D、30

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6. 若 $α \in (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ ，且 $c o s^{2} α + c o s (\frac{π}{2} + 2 α) = - \frac{1}{2}$ ．则 $t a n α =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、3 D、 $2 \sqrt{3}$

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7. 已知 $a = \frac{32 (4 - l n 32)}{e^{4}}$ ， $b = \frac{1}{e}$ ， $c = \frac{l o g_{\sqrt{e}} 2}{4}$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $b < a < c$

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8. 已知函数 $f (x) ， g (x)$ 的定义域均为R，且 $f (x) + g (2 - x) = 5 ， g (x) - f (x - 4) = 7$ ．若 $y = g (x)$ 的图像关于直线 $x = 2$ 对称， $g (2) = 4$ ，则 $\sum_{k = 1}^{22} f (k) =$ （）

A、 $- 21$ B、 $- 22$ C、 $- 23$ D、 $- 24$

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二、多选题

9. 将函数 $f (x) = c o s (2 x - π)$ 图象上所有的点向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则（）

A、 $g (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $g (x)$ 图象的一个对称中心为 $(\frac{7 π}{12} ， 0)$ C、 $g (x)$ 的单调递减区间为 $[\frac{π}{3} + k π ， \frac{5 π}{6} + k π] (k \in Z)$ D、 $g (x)$ 的图象与函数 $y = - s i n (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象重合

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10. 下列结论正确的有（）

A、若随机变量 $ξ ~ N (1 ， σ^{2})$ ， $P (ξ \leq 4) = 0.77$ ，则 $P (ξ \leq - 2) = 0.23$ B、若随机变量 $X ~ B (10 ， \frac{1}{3})$ ，则 $D (3 X - 1) = 19$ C、已知回归直线方程为 $y = \hat{b} x + 10.8$ ，且 $\bar{x} = 4$ ， $\bar{y} = 50$ ，则 $\hat{b} = 9.8$ D、已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11.若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为22

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11. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，E，F，G分别为BC， $C C_{1} ， B B_{1}$ 的中点，则（）

A、直线 $D_{1} D$ 与直线AF垂直 B、直线 $A_{1} G$ 与平面AEF平行 C、平面AEF截正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{8}$ D、点 $A_{1}$ 与点D到平面AEF的距离相等

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12. 已知点F是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点，AB，CD是经过点F的弦且 $A B ⊥ C D$ ，直线AB的斜率为k，且 $k > 0$ ， C，A两点在x轴上方，则（）

A、 $\vec{O C} \cdot \vec{O D} = - 3$ B、四边形ABCD面积最小值为64 C、 $\frac{1}{| A B |} + \frac{1}{| C D |} = \frac{1}{4}$ D、若 $| A F | \cdot | B F | = 16$ ，则直线CD的斜率为 $- \sqrt{3}$

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三、填空题

13. 设向量 $\vec{a} = (m ， 2) ， \vec{b} = (2 ， 1)$ ，且 $| \vec{a} + \vec{b} |^{2} = {| \vec{a} |}^{2} + {| \vec{b} |}^{2}$ ，则 $m =$ ．

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14. 若直线 $y = a x - 3$ 为函数 $f (x) = l n x - \frac{1}{x}$ 图像的一条切线，则a的值是．

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15. 已知 $F_{1} (- c ， 0) ， F_{2} (c ， 0)$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的两个焦点，P为椭圆C上一点（P不在y轴上）， $△ P F_{1} F_{2}$ 的重心为G，内心为M，且 $G M / / F_{1} F_{2}$ ，则椭圆C的离心率为．

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16. 已知菱形 $A B C D$ 边长为 $6$ ， $∠ A D C = \frac{2 π}{3}$ ， $E$ 为对角线 $A C$ 上一点， $A E = \sqrt{3}$ ．将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 翻折到 $△ A^{'} B D$ 的位置， $E$ 移动到 $E^{'}$ 且二面角 $A^{^{'}} - B D - A$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ，则三棱锥 $A^{'} - B C D$ 的外接球的半径为；过 $E^{'}$ 作平面 $α$ 与该外接球相交，所得截面面积的最小值为．

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四、解答题

17. 已知公差为正数的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， a_{1} = 1$ ， ____．请从以下二个条件中任选一个，补充在题干的横线上，并解答下列问题：① $S_{2} 、 S_{4} 、 S_{8}$ 成等比数列，② $a_{5} a_{10} - a_{7}^{2} = 2$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 记 $△ A B C$ 内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $(b + c) (s i n B - s i n C) = (s i n A - s i n C) a$ ．

(1)、求 $B$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ， $b = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长．

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19. 如图多面体 $A B C D E F$ ，正方形 $A B C D$ 的边长为 $4$ ， $A F ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A F = 2$ ， $A F / / D E$ ， $D E < A F$ ．

(1)、求证： $C E / /$ 平面 $A B F$ ；

(2)、若二面角 $B - C F - E$ 的大小为 $α$ ，且 $| c o s α | = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ，求 $D E$ 长．

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20. 某地区为居民集体筛查新型传染病毒，需要核酸检测，现有 $k (k \in N^{*} ， k \geq 2)$ 份样本，有以下两种检验方案，方案一，逐份检验，则需要检验k次；方案二：混合检验，将k份样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则k份样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定k份样本的阳性样本，则对k份本再逐一检验．逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是16元，且k份样本混合检验一次需要额外收20元的材料费和服务费．假设在接受检验的样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份样本是阴性的概率为 $p (0 < p < 1)$ ．
参考数据： $l n 2 = 0.7 ， l n 3 = 1.1 ， l n 7 = 1.9 ， l n 10 = 2.3 ， l n 11 = 2.4$

(1)、若 $k (k \in N^{*} ， k \geq 2)$ 份样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X，求X分布列及数学期望；

(2)、①若 $k = 5 ， p > \sqrt[5]{0.45}$ ，以检验总费用为决策依据，试说明该单位选择方案二的合理性；
②若 $p = \frac{1}{\sqrt[7]{e}}$ ，采用方案二总费用的数学期望低于方案一，求k的最大值．

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21. 已知双曲线 $Q ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，经过坐标原点O的直线l与双曲线Q交于A，B两点，点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 位于第一象限， $C (x_{2} ， y_{2})$ 是双曲线Q右支上一点， $A B ⊥ A C$ ，设 $D (x_{1} ， - \frac{3 y_{1}}{2})$

(1)、求双曲线Q的标准方程；

(2)、求证：C，D，B三点共线；

(3)、若 $△ A B C$ 面积为 $\frac{48}{7}$ ，求直线l的方程．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} l n^{2} x + l n x + k x - k ， g (x) = \frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{1}{e} x - f (x)$ ，

(1)、若 $k \leq – 1$ 时，求证：函数 $f (x)$ ）只有一个零点；

(2)、对 $\forall x_{1} \neq x_{2}$ 时，总有 $\frac{g (x_{1}) - g (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 2$ 恒成立，求k的取值范围．

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