辽宁省大连市2022-2023学年高二上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-01-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若直线l的方向向量是 $\vec{e} = (1 ， \sqrt{3})$ ，则直线l的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2. 已知空间向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2 ， x)$ ， $\vec{b} = (3 ， - 6 ， - 3)$ ，且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、9 B、 $- 1$ C、1 D、 $- 9$

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3. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上、下顶点分别为A，B，若四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 为正方形，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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4. 已知三棱锥 $O - A B C$ 中，点M，N分别为AB，OC的中点，且 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{N M} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} (\vec{b} + \vec{c} - \vec{a})$ B、 $\frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ C、 $\frac{1}{2} (\vec{a} - \vec{b} + \vec{c})$ D、 $\frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b} - \vec{c})$

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5. 已知圆 $M$ 的圆心在直线 $y = 2 x (x > 0)$ 上，若圆 $M$ 与 $x$ 轴交于 $A ， B$ 两点，圆 $M$ 与 $y$ 轴交于 $C ， D$ 两点，则（）

A、 $| A B | < | C D |$ B、 $| A B | = | C D |$ C、 $| A B | > | C D |$ D、 $| A B | \geq | C D |$

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6. 已知一个动圆P与两圆 $C_{1} ： {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 和 $C_{2} ： {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 都外切，则动圆P圆心的轨迹方程为（）

A、 $4 x^{2} - \frac{4 y^{2}}{15} = 1 (x < 0)$ B、 $4 x^{2} - \frac{4 y^{2}}{15} = 1$ C、 $\frac{4 x^{2}}{9} - \frac{4 y^{2}}{7} = 1 (x < 0)$ D、 $\frac{4 x^{2}}{9} - \frac{4 y^{2}}{7} = 1$

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7. 若四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的所有棱长均为2，且 $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ B A D = 60 °$ ，则 $A_{1}$ 到平面 $A B C D$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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8. 已知F为抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点，直线 $l ： y = k (x + 1)$ 与C交于A，B两点（A在B的左边），则 $4 | A F | + | B F |$ 的最小值是（）

A、10 B、9 C、8 D、5

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， 2 ， 1)$ ， $\vec{c} = (4 ， 1 ， 3)$ ，则（）

A、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ B、 $\vec{c} - \vec{b} = (2 ， - 1 ， 2)$ C、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面

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10. 如图，下列各正方体中，O为下底面的中心，M，N为顶点，P为所在棱的中点，则满足 $⟨ \vec{M N} ， \vec{O P} ⟩ = 90 °$ 的是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 8 = 0$ ，直线 $l ： y = k (x + 1) + 1$ ，则（）

A、圆C的圆心为 $(- 1 ， 0)$ B、点 $(- 1 ， 1)$ 在l上 C、l与圆C相交 D、l被圆C截得的最短弦长为4

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12. 在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 1$ ，点P满足 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}}$ ，其中 $λ \in [0 ， 1]$ ， $μ \in [0 ， 1]$ ，则（）

A、当 $λ = 1$ 时， $A P + P B_{1}$ 的最小值为 $\sqrt{5}$ B、当 $μ = 1$ 时，三棱锥 $P - A_{1} A B$ 的体积为定值 C、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，存在两个点P，使得 $A_{1} P ⊥ B P$ D、当 $μ = \frac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点P，使得 $A_{1} B ⊥$ 平面 $A B_{1} P$

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三、填空题

13. 已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $\vec{A C_{1}} = \vec{A B} + \vec{A D} + m \vec{A A_{1}}$ ，则m的值为．

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14. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线为 $y = \sqrt{3} x$ ，那么双曲线的离心率为．

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15. 已知圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面积为 $900 π$ ，则此圆台的母线与下底面所成角的余弦值为．

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16. 抛物线的光学性质是：位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射后的反射线都与抛物线的对称轴平行．已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，直线 $l ： y = 5$ ，点P，Q分别是C，l上的动点，若Q在某个位置时，P仅存在唯一的位置使得 $| P F | = | P Q |$ ，则满足条件的所有 $| P Q |$ 的值为．

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四、解答题

17. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ．请从①②③中选取两个作为条件补充到题中，并完成下列问题．① $b = \sqrt{3}$ ；②离心率为2；③与椭圆 $\frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1$ 的焦点相同．

(1)、求C的方程；

(2)、直线 $l ： y = x - 3$ 与C交于A，B两点，求 $| A B |$ 的值．

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18. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形， $P B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ 为线段 $P B$ 的中点．

(1)、证明： $A C ⊥ P D$ ；

(2)、若 $P B = 2 A B = 2$ ，求直线 $D E$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值．

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19. 已知点 $(4 ， 2)$ 在抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y$ 上，直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点， $O$ 为坐标原点，且 $∠ A O B = 90 °$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的焦点到准线的距离；

(2)、求 $△ A O B$ 面积的最小值．

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20. 在某地举办的智能AI大赛中，主办方设计了一个矩形场地ABCD（如图），AB的长为9米，AD的长为18米．在AB边上距离A点6米的F处有一只电子狗，在距离A点3米的E处放置一个机器人．电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点（电子狗和机器人沿各自的直线方向到达某点），那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这点叫失败点．

(1)、判断点A是否为失败点（不用说明理由）；

(2)、求在这个矩形场地内电子狗失败的区域面积S；

(3)、若P为矩形场地AD边上的一动点，当电子狗在线段FP上都能逃脱时，求 $\frac{| A P |}{| A D |}$ 的取值范围．

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21. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点．以DE为折痕将四边形ABED折起，使A，B分别到达 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ，且平面 $A_{1} B_{1} E D ⊥$ 平面CDE．设P为线段CE上一点，且 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， P，F四点共面．

(1)、证明： $B_{1} E ∥$ 平面 $A_{1} D F$ ；

(2)、求CP的长；

(3)、求平面 $A_{1} B_{1} P F$ 与平面CDE所成角的余弦值．

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且 $| F_{1} F_{2} | = 2$ ．过 $F_{2}$ 的一条斜率存在且不为零的直线交 $C$ 于 $M ， N$ 两点， $△ M N F_{1}$ 的周长为 $4 \sqrt{2}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设 $M$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $P$ ，直线 $P N$ 交 $x$ 轴于点 $Q$ ，过 $Q$ 作 $C$ 的一条切线，切点为 $T$ ，证明： $∠ T F_{2} P = ∠ T F_{2} N$ ．

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