河北省2022-2023学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2023-01-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题“ $\exists x \in (1 ， + \infty)$ ， $e^{2 x} \geq x + 1$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in (1 ， + \infty)$ ， $e^{2 x} \geq x + 1$ B、 $\forall x \in (1 ， + \infty)$ ， $e^{2 x} < x + 1$ C、 $\exists x \in (1 ， + \infty)$ ， $e^{2 x} < x + 1$ D、 $\exists x \in (1 ， + \infty)$ ， $e^{2 x} \geq x + 1$

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2. 函数 $f (x) = \sqrt{x + 3} + \frac{1}{x + 1}$ 的定义域为（）

A、 ${x | x \geq - 1}$ B、 ${x | x \neq - 1}$ C、 ${x | x > - 3$ 且 $x \neq - 1}$ D、 ${x | x > - 3}$

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3. 若α为第四象限角，则（）

A、cos2α>0 B、cos2α<0 C、sin2α>0 D、sin2α<0

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4. 幂函数 $y = x^{a} ， y = x^{b} ， y = x^{c} ， y = x^{d}$ 在第一象限的图像如图所示，则 $a ， b ， c ， d$ 的大小关系是（）

A、 $a > b > c > d$ B、 $d > b > c > a$ C、 $d > c > b > a$ D、 $b > c > d > a$

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5. “字节”（Byte，B）常用于表示存储容量或文件的大小.随着网络存储信息量的增大，我们还用千（K，kilo）､兆（M，mega）､吉（G，giga）､太（T，tera）､拍（P，peta）等单位表示存储容量.各单位数量级之间的换算关系如下：1KB=1024B；1MB=1024KB；1GB=1024MB；1TB=1024GB；1PB==1024TB=xB。已知 $x$ 是一个 $m$ 位整数，则 $m =$ （）
（参考数据： $l g 2 \approx 0.3010$ ）

A、8 B、9 C、15 D、16

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6. 如图所示，函数y=cos x⋅|tan x|（ $0 ≤ x < \frac{3 π}{2}$ 且 $x \neq \frac{π}{2}$ ）的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且在区间 $[0 ， + ∞)$ 单调递减，则不等式 $f (2 x - 1) > f (x + 1)$ 的解集为（）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(- \infty ， 0) ∪ (2 ， + \infty)$ C、 $(- ∞ ， 2)$ D、 $(2 ， + ∞)$

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8. 若关于x的方程(sin x＋cos x)²＋cos 2x＝m在区间 $(0 ， π]$ 上有两个不同的实数根x₁ ， x₂ ，且|x₁－x₂|≥ $\frac{π}{4}$ ，则实数m的取值范围是（）

A、[0，2) B、[0，2] C、[1， $\sqrt{2}$ ＋1] D、[1， $\sqrt{2}$ ＋1)

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二、多选题

9. 若 $a > b$ ， $c < 0$ ，则下列不等式不成立的是（）

A、 $a c^{2} > b c^{2}$ B、 $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$ C、 $a + c < b + c$ D、 $a > b - c$

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10. 已知 $θ \in (0 ， π)$ ， $s i n θ + c o s θ = \frac{1}{5}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $θ \in (\frac{π}{2} ， π)$ B、 $c o s θ = - \frac{3}{5}$ C、 $t a n θ = - \frac{3}{4}$ D、 $s i n θ - c o s θ = \frac{7}{5}$

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11. 若 $a > b > 1$ ， $x = l o g_{a} b$ ， $y = l o g_{b} a$ ， $z = a^{b}$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $x < y$ B、 $y < z$ C、 $x < z$ D、 $y > z$

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12. 已知函数 $f (x) = 1 + 2 c o s x c o s (x + 2 φ)$ 是偶函数，其中 $φ \in (0 ， π)$ ，则下列关于函数 $g (x) = c o s (2 x - φ)$ 的正确描述是（）

A、 $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{12} ， \frac{π}{3}]$ 上的最小值为 $- \frac{1}{2}$ B、 $g (x)$ 的图象可由函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度得到 C、点 $(\frac{π}{4} ， 0)$ 是 $g (x)$ 的图象的一个对称中心； D、 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 是 $g (x)$ 的一个单调递增区间.

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x - 5 ， x > 0 \\ 2^{x} ， x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- 1)) =$ ．

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14. 设 $m ， n \in R^{+}$ 且 $m + n = 1$ ，则 $\frac{1}{n} + \frac{4}{m}$ 最小值为；

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15. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} s i n \frac{ω x}{2} c o s \frac{ω x}{2} + 2 c o s^{2} \frac{ω x}{2} (ω > 0)$ 的周期为 $\frac{2 π}{3}$ ，当 $x \in [0 ， \frac{π}{3}]$ 时，函数 $g (x) = f (x) + k$ 恰有两个不同的零点，则实数 $k$ 的取值范围是.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a x + 1 ， x \leq 0 \\ | l n x | ， x > 0 \end{array}$ ，给出下列三个结论：
①当 $a = - 2$ 时，函数 $f (x)$ 的单调递减区间为 $(- \infty ， 1)$ ；
②若函数 $f (x)$ 无最小值，则 $a$ 的取值范围为 $(0 ， + \infty)$ ；
③若 $a < 1$ 且 $a \neq 0$ ，则 $\exists b \in R$ ，使得函数 $y = f (x) - b$ .恰有3个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，且 $x_{1} x_{2} x_{3} = - 1$ ．
其中，所有正确结论的序号是．

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四、解答题

17. 记不等式 $a - x \leq 0 (a \in R)$ 的解集为A，不等式 $x^{2} - 2 x - 3 > 0$ 的解集为B.

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、若 $A \cap ∁_{R} B \neq \emptyset$ ，求实数a的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} s i n x c o s x + c o s^{2} x - s i n^{2} x + a (x \in R)$ 的最大值为5．

(1)、求 $a$ 的值和 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递增区间．

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19. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示：

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图像上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图像，求函数 $y = g (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上的最大值及函数取最大值时相应的x值．

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20. 若函数 $g (x) = a x^{2} - 2 a x + 1 + b (a > 0)$ 在区间 $[2 ， 3]$ 上有最大值4和最小值1，设 $f (x) = \frac{g (x)}{x}$ ．

(1)、求a、b的值；

(2)、若不等式 $f (2^{x}) - k \cdot 2^{x} \geq 0$ 在 $x \in [- 1 ， 1]$ 上有解，求实数k的取值范围；

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21. 已知函数 $f (x) = l g (1 + x) + k l g (1 - x)$ ，从下面两个条件中选择一个求出 $k$ ，并解不等式 $f (x) < - 1$ ． ①函数 $f (x)$ 是偶函数；②函数 $f (x)$ 是奇函数．

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22. 2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松.某科研机构对某变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间 $T$ 进行一次记录，用 $x$ 表示经过单位时间的个数，用 $y$ 表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：
$x (T)$
1
2
3
4
5
6
$⋯$
$y$ （万个）
$⋯$
10
$⋯$
50
$⋯$
250
$⋯$
若该变异毒株的数量 $y$ （单位：万个）与经过 $x (x \in N^{*})$ 个单位时间 $T$ 的关系有两个函数模型 $y = p x^{2} + q$ 与 $y = k a^{x} (k > 0 ， a > 1)$ 可供选择.（参考数据： $\sqrt{5} \approx 2.236 ， \sqrt{6} \approx 2.449 ， l g 2 \approx 0.301 ， l g 6 \approx 0.778$ ）

(1)、判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；

(2)、求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个.

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$x (T)$	1	2	3	4	5	6	$⋯$
$y$ （万个）	$⋯$	10	$⋯$	50	$⋯$	250	$⋯$