广东省汕头市2023届高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2023-01-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x \geq 0}$ ，集合 $B = {x | x > 1}$ ，则以下命题为真命题的是（）

A、 $\exists x \in A$ ， $x ∈ B$ B、 $\exists x \in B$ ， $x \notin A$ C、 $\forall x \in A$ ， $x ∈ B$ D、 $\forall x \in B$ ， $x \notin A$

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2. 已知复数z满足 $(1 + 2 i) z = 2 + i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、1 C、 $\sqrt{5}$ D、5

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3. 已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩），则下列说法不正确的是（）

A、甲成绩的极差小于乙成绩的极差 B、甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数 C、甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数 D、甲成绩的方差小于乙成绩的方差

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4. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 且 $3 (a_{3} + a_{5}) + 2 (a_{7} + a_{10} + a_{13}) = 48$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前13项之和为（）

A、24 B、39 C、104 D、52

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5. 已知某运动员每次射击击中目标的概率是 $p$ ，假设每次射击击中目标与否互不影响，设 $ξ$ 为该运动员 $n$ 次射击练习中击中目标的次数，且 $E (ξ) = 8$ ， $D (ξ) = 1.6$ ，则 $p$ 值为（）

A、0.6 B、0.8 C、0.9 D、0.92

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6. 如图1，水平放置的直三棱柱容器 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ A B$ ， $A B = A C = 2$ ，现往内灌进一些水，水深为2．将容器底面的一边AB固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为三角形 $A_{1} B_{1} C$ ，如图2，则容器的高h为（）

A、3 B、4 C、 $4 \sqrt{2}$ D、6

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7. $(x + 3 y) (x - 2 y)^{6}$ 的展开式中 $x^{5} y^{2}$ 的系数为（）

A、60 B、24 C、 $- 12$ D、 $- 48$

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8. 如图为函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象，则（）

A、函数 $f (x)$ 的周期为 $4 π$ B、对任意的 $x ∈ R$ ，都有 $f (x) \leq f (\frac{2 π}{3})$ C、函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 5 π]$ 上恰好有三个零点 D、函数 $f (x - \frac{π}{4})$ 是偶函数

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二、多选题

9. 已知同一平面内的两个向量 $\vec{a} = (3 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 2)$ ，则（）

A、与 $\vec{b}$ 同向的单位向量是 $(\frac{\sqrt{5}}{5} ， - \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ B、 ${\vec{a} ， \vec{b}}$ 不能作为该平面的基底 C、 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角是 $\frac{π}{4}$ D、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量等于 $\vec{b}$

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10. 为了提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素与学生对体育锻炼的喜好是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行普查，得到下表：
体育
性别
合计
男性
女性
喜欢
280
p
280＋p
不喜欢
q
120
120＋q
合计
280＋q
120＋p
400＋p＋q
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.05
0.025
0.010
0.001
$x_{α}$
3.841
5.024
6.635
10.828
已知男生喜欢体育锻炼的人数占男生人数的 $\frac{7}{10}$ ，女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的 $\frac{3}{5}$ ，则下列说法正确的是（）

A、列联表中q的值为120，p的值为180 B、随机对一名学生进行调查，此学生有90%的可能性喜欢体育锻炼 C、根据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，男女生对体育锻炼的喜好有差异 D、根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，男女生对体育锻炼的喜好没有差异

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11. 在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 2 A D = 2 D C = 2 D D_{1} = 4$ .（）

A、在棱AB上存在点P，使得 $D_{1} P / /$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ B、在棱BC上存在点P，使得 $D_{1} P / /$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ C、若P在棱AB上移动，则 $A_{1} D ⊥ D_{1} P$ D、在棱 $A_{1} B_{1}$ 上存在点P，使得 $D P ⊥$ 平面 $A_{1} B C_{1}$

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12. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x - 7$ ，其导函数为 $y = f^{'} (x)$ ，下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的单调减区间为 $(- \frac{2}{3} ， 2)$ B、函数 $y = f (x)$ 的极小值是 $- 15$ C、当 $a > 2$ 时，对于任意的 $x > a$ ，都有 $f (x) < f (a) + f^{'} (a) (x - a)$ D、函数 $y = f (x)$ 的图像有条切线方程为 $y = 3 x - 1$

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三、填空题

13. 若等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ,且 $S_{3} = 7$ ， $S_{6} = 63$ ，则 $S_{9} =$ ．

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14. 已知长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D的椭圆的离心率为．

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15. 写出符合如下两个条件的一个函数 $f (x) =$ ． ① $f (- x) - f (x + 2) = 0$ ， ② $f (x)$ 在 $(- ∞ ， 0)$ 内单调递增．

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16. 剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中华汉族最古老的民间艺术之一．如图，一圆形纸片直径 $A B = 20 c m$ ，需要剪去四边形 $C E C_{1} D$ ，可以经过对折，沿 $D C ， E C$ 裁剪，展开就可以得到．
已知点 $C$ 在圆上且 $A C = 10 c m$ ， $∠ E C D = 30 °$ ．则镂空四边形 $C E C_{1} D$ 的面积的最小值为 $c m^{2}$ ．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项积为 $T_{n}$ ，且 $a_{n} + 2 T_{n} = 1$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、求证：数列 ${\frac{1}{T_{n}}}$ 是等差数列；

(2)、求数列 ${l n a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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18. 设锐角三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知 $a = b c o s A - a c o s B$ ．

(1)、求证：B＝2A；

(2)、求 $\frac{b + c}{a}$ 的取值范围．

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ，且 $∠ A A_{1} B_{1} = 60 °$ ， $A B = 2$ ， $A C = A A_{1} = A C_{1} = 4$ ．

(1)、求平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 夹角的余弦值；

(2)、求三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的高h．

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20. 某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析．球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示．
场上位置
边锋
前卫
中场
出场率
0.5
0.3
0.2
球队胜率
0.6
0.8
0.7

(1)、当甲出场比赛时，求球队输球的概率；

(2)、当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率；

(3)、如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置？请说明安排理由．

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21. 已知函数 $f (x) = l n x - \frac{1}{2} a x^{2} + (a - 1) x$ ， $a \in R$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、曲线 $y = f (x)$ 上是否存在不同两点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 、 $B (x_{2} ， y_{2})$ ，使得直线AB与曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} ， f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}))$ 处的切线平行？若存在，求出A、B坐标，若不存在，请说明理由．

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22. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ ，上、下顶点分别为 $B_{1}$ 、 $B_{2}$ ，记四边形 $A_{1} B_{1} A_{2} B_{2}$ 的内切圆为 $C_{2}$ ，过椭圆 $C_{1}$ 上一点T引圆 $C_{2}$ 的两条切线（切线斜率存在且不为0），分别交椭圆 $C_{1}$ 于点P、Q．

(1)、试探究直线TP与TQ斜率之积是否为定值，并说明理由；

(2)、记点O为坐标原点，求证：P、O、Q三点共线．

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体育	性别		合计
体育	男性	女性	合计
喜欢	280	p	280＋p
不喜欢	q	120	120＋q
合计	280＋q	120＋p	400＋p＋q

场上位置	边锋	前卫	中场
出场率	0.5	0.3	0.2
球队胜率	0.6	0.8	0.7

$α$	0.05	0.025	0.010	0.001
$x_{α}$	3.841	5.024	6.635	10.828