广东省茂名市电白区2022-2023学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2023-01-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. $s i n 210^{\circ}$ 等于（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 命题“ $\forall x < - 3 ， x^{2} + 2 x > 3$ ”的否定是（）

A、 $\forall x_{0} \geq - 3 ， {x_{0}}^{2} + 2 x_{0} < 3$ B、 $\forall x_{0} < - 3 ， {x_{0}}^{2} + 2 x_{0} > 3$ C、 $\exists x_{0} \geq - 3 ， {x_{0}}^{2} + 2 x_{0} \leq 3$ D、 $\exists x_{0} < - 3 ， x_{0}^{2} + 2 x_{0} \leq 3$

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3. 在下列区间中，方程 $2^{x} + x = 0$ 的解所在的区间是（）

A、 $(- 2 ， - 1)$ B、 $(- 1 ， 0)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(1 ， 2)$

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4. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (- 8 ， m)$ ，且 $t a n α = - \frac{3}{4}$ ，则 $c o s α$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} (2 a - 1) x + 4 a ， x \leq 1 \\ l o g_{a} x ， x > 1 ， \end{array}$ 在R上是减函数，那么a的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{6} ， \frac{1}{2})$ B、 $[\frac{1}{6} ， 1)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(0 ， \frac{1}{2})$

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6. 设 $a = 7^{0.3}$ ， $b = 0 . 3^{7}$ ， $c = l n 0.3$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $a < b < c$ D、 $a < c < b$

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7. 若函数 $y = 2^{x}$ 在区间 $[2 ， a]$ 上的最大值比最小值大4，则 $a =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 若 $s i n x + c o s x = \frac{1}{3}$ ， $x \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ ，则 $s i n x - c o s x$ 的值为（）

A、 $\pm \frac{\sqrt{17}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{17}}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{17}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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二、多选题

9. 如果幂函数 $y = (m^{2} - 3 m + 3) x^{m^{2} - m - 2}$ 的图象不过原点，则实数 $m$ 的取值为（）

A、 $0$ B、 $2$ C、 $1$ D、无解

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10. 设函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{2}) + 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的一个周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 $f (x)$ 的一个最高点坐标为 $(π ， 2)$ D、 $f (x)$ 是偶函数

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11. 下列命题中是假命题的是（）

A、“ $x ∈ A$ ”是“ $x \in A ∩ B$ ”的充分条件 B、“ $a > b$ ”是“ $a c^{2} > b c^{2}$ ”的必要条件 C、“ $m > n$ ”是“ $0 . 2^{m} > 0 . 2^{n}$ ”的充要条件 D、“ $α > β$ ”是“ $t a n α > t a n β$ ”的充要条件

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12. 已知 $(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = (a c + b d)^{2} + (a d - b c)^{2}$ ，由此式可得不等式 $(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) \geq (a c + b d)^{2}$ ，当且仅当 $a d = b c$ 时等号成立．利用此不等式求解以下问题：设 $a^{2} + b^{2} = 6$ ， $m a + 3 n b = 6$ ，则 $\sqrt{m^{2} + 9 n^{2}}$ 的值不可能是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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三、填空题

13. 已知扇形的周长为4，圆心角为 $2 r a d$ ，则扇形面积为.

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14. 设集合 $A = {x | - 2 \leq x \leq 2}$ ， $B = {x | x < a}$ ，若 $A ⊆ B$ ，则a的取值范围是．

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15. 已知函数 $f (x) = 3^{x} - x - 4$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上存在一个零点，用二分法求该零点的近似值，其参考数据如下： $f (1.6000) \approx 0.200$ ， $f (1.5875) \approx 0.133$ ， $f (1.5750) \approx 0.067$ ， $f (1.5625) \approx 0.003$ ， $f (1.5562) \approx - 0.029$ ， $f (1.5500) \approx - 0.060$ ，据此可得该零点的近似值为．（精确到 $0.01$ ）

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16. 已知函数 $y = a^{x - 2}$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图象恒过定点A ，若点A在一次函数 $y = m x + n$ 的图象上，其中 $m ， n > 0$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为.

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四、解答题

17.

(1)、求值： $9 9^{0} + {(\frac{1}{8})}^{- \frac{2}{3}} + l g 2 - 1 + l g 5$ ；

(2)、已知集合 $A = {x | - 5 < x < 2}$ ， $B = {x | | x + 3 | < 3}$ 求 $A \cup B$ ， $(C_{R} A) \cap B$ ．

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18. 已知 $c o s α = - \frac{4}{5}$ ，且 $t a n α > 0$ ．

(1)、求 $t a n α$ 的值；

(2)、求 $\frac{2 s i n (π - α) + s i n (\frac{π}{2} + α)}{c o s (2 π - α) + c o s (- α)}$ 的值．

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19.

(1)、求函数 $y = s i n (\frac{1}{2} x + \frac{π}{4})$ 的单调递减区间；

(2)、求函数 $y = s i n (\frac{1}{2} x + \frac{π}{4})$ 在区间 $[- π ， π]$ 上的最大值和最小值．

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20. 已知函数 $f (x) = l o g_{3} (x + 4) - l o g_{3} (- x + 4)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性并予以证明；

(3)、求不等式 $f (x) > 1$ 的解集．

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21. 已知 $s i n (\frac{5 π}{6} - α) = \frac{1}{3}$ ．

(1)、求 $c o s (α - \frac{π}{3})$ ；

(2)、若 $- \frac{π}{6} < α < \frac{π}{3}$ ，求 $c o s (\frac{π}{6} + α)$ ．

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22. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + (b - 2) x + 3$ .

(1)、若不等式 $f (x) > 0$ 的解集为 $(- 1 ， 3)$ ，解不等式 $a x^{2} + 3 x + b < 0$ ；

(2)、若 $f (x)$ 为偶函数，且 $f (1) = 4$ ，当 $x \in (0 ， 1]$ 时，函数 $y = \frac{1}{2} f (3^{x}) - λ \cdot 3^{x}$ 的最小值为 $- 6$ ，求 $λ$ 的值.

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