广东省茂名市电白区2022-2023学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2023-01-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $\vec{a} = (1 ， - 2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 2 ， - 1)$ ，则 $\vec{a} - \vec{b} =$ （）

A、 $(2 ， - 4 ， 2)$ B、 $(- 2 ， 4 ， - 2)$ C、 $(2 ， 0 ， 2)$ D、 $(- 2 ， - 1 ， - 3)$

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2. 若向量 $\vec{a} = (1 ， 1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 0 ， 2)$ ，则 $| \vec{3 a} + \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{15}$ B、4 C、5 D、 $\sqrt{17}$

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3. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm \frac{2}{3} x$ B、 $y = \pm \frac{4}{9} x$ C、 $y = \pm \frac{9}{4} x$ D、 $y = \pm \frac{3}{2} x$

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4. 椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12}$ =1的左顶点到右焦点的距离为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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5. 记等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{17} = 272$ ，则 $a_{6} + a_{9} + a_{12} =$ （）

A、24 B、36 C、48 D、64

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6. 已知等差数列{an}的前n项和为S_n ，且a₉= $\frac{1}{2}$ a₁₂+6，a₂=4，则数列{ $\frac{1}{S_{n}}$ }的前20项的和为（　　）

A、 $\frac{19}{20}$ B、 $\frac{20}{21}$ C、 $\frac{21}{22}$ D、 $\frac{22}{23}$

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7. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $C$ 的两个焦点， $P$ 是 $C$ 上的一点，若 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，且 $∠ P F_{2} F_{1} = 60 °$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $2 - \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ D、 $\sqrt{3} - 1$

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8. 阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希腊伟大的物理学家，数学家和天文学家，并享有“数学之神”的称号.他研究抛物线的求积法，得出了著名的阿基米德定理．在该定理中，抛物线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．若抛物线上任意两点 $A ， B$ 处的切线交于点 $P$ ，则 $△ P A B$ 为“阿基米德三角形”，且当线段 $A B$ 经过抛物线的焦点 $F$ 时， $△ P A B$ 具有以下特征：（1） $P$ 点必在抛物线的准线上；（2） $P A ⊥ P B$ ；（3） $P F ⊥ A B$ ．若经过抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点的一条弦为 $A B$ ， “阿基米德三角形”为 $△ P A B$ ，且点 $P$ 在直线 $x - y + 6 = 0$ 上，则直线 $A B$ 的方程为（　）

A、 $x - y - 2 = 0$ B、 $x - 2 y - 2 = 0$ C、 $x + y - 2 = 0$ D、 $x + 2 y - 2 = 0$

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二、多选题

9. 下列关于抛物线 $y^{2} = 10 x$ 的说法正确的是（）

A、焦点在y轴上 B、焦点在x轴上 C、抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 D、由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可能为 $(2 ， 1)$

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10. 已知曲线 $C ： m x^{2} + n y^{2} = 1$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $m = 0$ ， $n > 0$ ，则 $C$ 是两条直线 B、若 $m = n > 0$ ，则 $C$ 是圆，其半径为 $\sqrt{n}$ C、若 $m > n > 0$ ，则 $C$ 是椭圆，其焦点在 $x$ 轴上 D、若 $m n < 0$ ，则 $C$ 是双曲线，其渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{- \frac{m}{n}} x$

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11. 已知直线 $l ： a x + b y - r^{2} = 0$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} = r^{2}$ ，点 $A (a ， b)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若点 $A$ 在圆 $C$ 上，则直线 $l$ 与圆 $C$ 相切 B、若点 $A$ 在圆 $C$ 内，则直线 $l$ 与圆 $C$ 相交 C、若点 $A$ 在圆 $C$ 外，则直线 $l$ 与圆 $C$ 相离 D、若点 $A$ 在直线 $l$ 上，则直线 $l$ 与圆 $C$ 相切

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12. 对于数列 ${a_{n}}$ ，定义 $H_{0} = \frac{a_{1} + 2 a_{2} + ⋯ + 2^{n - 1} a_{n}}{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的“优值”.现已知数列 ${a_{n}}$ 的“优值” $H_{0} = 2^{n + 1}$ ，记数列 ${a_{n} - 20}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{n} = 2 n + 2$ B、 $S_{n} = n^{2} - 19 n$ C、 $S_{8} = S_{9}$ D、 $S_{n}$ 的最小值为 $- 72$

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三、填空题

13. 已知 $\vec{a} = (1 ， x ， 3)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 4 ， y)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x + y =$ .

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14. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{n} = 2 a_{n} + 1$ ，则 $S_{6} =$ ．

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15. $F_{1} (- 4 ， 0)$ ， $F_{2} (4 ， 0)$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{4} = 1 (m > 0)$ 的两个焦点，点 $M$ 是双曲线 $C$ 上一点，且 $∠ F_{1} M F_{2} = 6 0^{∘}$ ，则 $△ F_{1} M F_{2}$ 的面积为.

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16. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， C的上顶点为A，两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．过 $F_{1}$ 且垂直于 $A F_{2}$ 的直线与C交于D，E两点， $| D E | = 6$ ，则 $△ A D E$ 的周长是．

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四、解答题

17.

(1)、已知椭圆的焦点坐标分别为 $(0 ， - 4)$ ， $(0 ， 4)$ ， $a = 5$ ；求椭圆的标准方程.

(2)、已知双曲线经过 $A (- 7 ， - 6 \sqrt{2})$ 、 $B (2 \sqrt{7} ， 3)$ 两点，求此双曲线的标准方程.

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18. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和．

(1)、证明 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 是等差数列；

(2)、设 $T_{n}$ 为数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 的前n项和，若 $S_{4} = 12$ ， $S_{8} = 40$ ，求 $T_{n}$ ．

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19. 如图，在四棱雉 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 满足 $A B ⊥ A D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $S A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $S A = A B = B C = 2$ ， $A D = 1$ .

(1)、求证：平面 $S A B ⊥$ 平面 $S B C$ ；

(2)、求平面 $S C D$ 与平面 $S A B$ 的夹角余弦值.

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20. 已知直线 $l$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且线段 $A B$ 的中点 $P (1 ， 1)$ ．

(1)、求直线 $l$ 的方程；

(2)、求 $△ O A B$ 的面积．

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21. 新能源汽车的发展有着诸多的作用，不仅能够帮助国家减少对石油的依赖，同时还能够减轻环境的污染．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．

(1)、求经过n年，该市被更换的公交车总数 $S (n)$ ；

(2)、若该市计划7年内完成全部更换，求a的最小值．

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22. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F (2 ， 0)$ ，渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ．

(1)、求C的方程；

(2)、过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 $P (x_{1} ， y_{1}) ， Q (x_{2} ， y_{2})$ 在C上，且 $x_{1} > x_{2} > 0 ， y_{1} > 0$ ．过P且斜率为 $- \sqrt{3}$ 的直线与过Q且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在 $A B$ 上；② $P Q ∥ A B$ ；③ $| M A | = | M B |$ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

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