广东省东莞市2023届高三上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-01-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x \geq 1}$ ， $B = {x | x^{2} - x - 2 < 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | x > - 1}$ B、 ${x | x \geq 1}$ C、 ${x | - 1 < x < 1}$ D、 ${x | 1 \leq x < 2}$

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2. 已知复数 $z$ 满足： $z \cdot i = 1 + i$ （i为虚数单位），则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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3. 已知向量 $\vec{A B} = (4 ， 3)$ ， $\vec{A C} = (3 ， t)$ ， $| \vec{B C} | = 1$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 等于（）

A、3 B、4 C、15 D、21

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4. 如图，某公园需要修建一段围绕绿地的弯曲绿道（图中虚线）与两条直道（图中实线）平滑连续（相切），已知环绕绿地的弯曲绿道为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）

A、 $y = \frac{1}{4} x^{3} - x$ B、 $y = \frac{1}{4} x^{3} - x^{2} - x$ C、 $y = - \frac{1}{4} x^{3} + x$ D、 $y = - \frac{1}{4} x^{3} + x^{2} + x$

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5. 已知F为抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点，P为抛物线上任意一点，O为坐标原点，若 $| P F | = 3$ ，则 $| O P | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{17}$

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6. 甲，乙，丙，丁四人在足球训练中进行传球训练，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙，丙，丁中的任何一个人，以此类推，则经过3次传球后乙恰接到1次球的概率为（）

A、 $\frac{14}{27}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $\frac{16}{27}$ D、 $\frac{17}{27}$

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7. 已知一个装满水的圆台形容器的上底半径为6，下底半径为1，高为 $5 \sqrt{3}$ ，若将一个铁球放入该容器中，使得铁球完全没入水中，则可放入的铁球的体积的最大值为（）

A、 $4 \sqrt{3} π$ B、 $32 \sqrt{3} π$ C、 $\frac{125 \sqrt{3} π}{2}$ D、 $108 π$

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8. 已知实数a，b满足 $e^{a} + a = b + l n b + 1$ ，则下列选项中一定正确的是（）

A、 $b > e^{a}$ B、 $b < e^{a}$ C、 $b < a + 1$ D、 $b > a + 1$

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二、多选题

9. 已知二项式 $(1 + \sqrt{x})^{2023}$ ，则下列结论正确的是（）

A、该二项展开式中二项式系数和与各项系数和相等 B、该二项展开式中不含有理项 C、该二项展开式中的常数项是1 D、该二项展开式中含x的项系数是 $2023 \times 2022$

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10. 已知 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (x + 2 π)$ ，且 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递增，则 $f (x)$ 可以是（）

A、 $f (x) = s i n x + c o s x$ B、 $f (x) = s i n x - c o s x$ C、 $f (x) = s i n x c o s x$ D、 $f (x) = \frac{s i n x}{c o s x}$

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11. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $E ， F ， G$ 分别为 $B C$ ， $C C_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、直线 $B_{1} C$ 与直线 $A F$ 垂直 B、直线 $A_{1} G$ 与平面 $D_{1} E F$ 平行 C、平面 $D_{1} E F$ 与平面 $A_{1} B_{1} C D$ 垂直 D、点C和点 $A_{1}$ 到平面 $D_{1} E F$ 的距离相等

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12. 已知直线l： $y = k x + m$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 交于A，B两点，点 $F$ 为椭圆的右焦点，则下列结论正确的是（）

A、当 $m = k$ 时，存在 $k \in R$ 使得 $| \vec{F A} | + | \vec{F B} | = 4$ B、当 $m = k$ 时， $| \vec{F A} + \vec{F B} |$ 的最小值为 $2$ C、当 $k = 1$ 时，存在 $m \in R$ 使得 $| \vec{F A} | + | \vec{F B} | = 4$ D、当 $k = 1$ 时， $| \vec{F A} + \vec{F B} |$ 的最小值为 $2$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = \frac{a}{2^{x} - 1} + \frac{1}{2}$ 是奇函数，则 $a =$ ．

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14. 设 $f (x) = c o s 2 x$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $h (x) = f (x) + f^{'} (x)$ 关于 $(a ， 0)$ 对称，则 $t a n 2 a =$ ．

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15. 已知点P为直线 $y = \sqrt{5}$ 上一动点，过点P作圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 的切线，切点分别为A、B，且 $∠ A P B \geq 90 °$ ，则动点P的轨迹的长度为．

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16. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中记载了“三角垛”．如图，某三角垛最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，每个球的半径相等，且相邻的球都外切，记由球心A，B，C，D构成的四面体的体积为 $V_{1}$ ，记能将该三角垛完全放入的四面体 $A_{1} - B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $V_{2}$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ 的最大值为．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且对于任意的 $n \in N^{*}$ 都有 $3 S_{n} = 2 a_{n} + 1$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记数列 ${a_{n}}$ 的前n项中的最大值为 $M_{n}$ ，最小值为 $m_{n}$ ，令 $b_{n} = \frac{M_{n} + m_{n}}{2}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前20项和 $T_{20}$ ．

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18. 已知在锐角 $△ A B C$ 中，M是 $B C$ 的中点，且 $A B = 4$ ， $A C = 2$ ．

(1)、求 $\frac{s i n ∠ B A M}{s i n ∠ M A C}$ 的值；

(2)、若 $c o s ∠ M A C = \frac{\sqrt{6}}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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19. 如图， $A B$ 为半球 $M$ 的直径，C为 $\overset{⌢}{A B}$ 上一点，P为半球面上一点，且 $A C ⊥ P C$ ．

(1)、证明： $P B ⊥ P C$ ；

(2)、若 $A C = A M = 2$ ， $P B = \sqrt{6}$ ，求直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成的角的正弦值．

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20. 现有一种射击训练，每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立．已知射击训练有A，B两种型号的炮弹，对于A型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为p（ $0 < p \leq 0.4$ ），且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.6，击中两弹目标飞行物必坠段；对子B型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为q（ $0 < q < 1$ ），且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.4，击中两弹目标飞行物坠毁的概率为0.8，击中三弹目标飞行物必坠毁．

(1)、在一次训练中，使用B型号炮弹，求q满足什么条件时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于 $0.936$ ；

(2)、若 $p + q = 1$ ，试判断在一次训练中选用A型号炮弹还是B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大？并说明理由．

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21. 已知 $F_{1} (- 2 ， 0)$ ， $F_{2} (2 ， 0)$ 为双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左右焦点，点 $(2 ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ 在双曲线E上，O为坐标原点．

(1)、求双曲线E的标准方程；

(2)、若不与坐标轴平行的动直线l与双曲线E相切，分别过点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 作直线l的垂线，垂足为P，Q，求 $△ O P Q$ 面积最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - 2 a x^{2}$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设函数 $g (x) = (x - 2) e^{x} + 2 x - s i n x$ ，若对任意的 $x \geq 0$ ， $f^{'} (x) \geq g^{'} (x)$ 恒成立（ $f^{'} (x)$ ， $g^{'} (x)$ 分别是 $f (x)$ ， $g (x)$ 的导函数），求实数a的取值范围．

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