福建省厦门市2022-2023学年高一上学期期末教学质量检测

试卷更新日期：2023-01-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x \in N_{+} | x$ 是 $2 n$ 与 $3 n$ 的公倍数， $n \in N_{+}}$ ， $B = {x | x = 6 n$ ，且 $n \in N_{+}}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $A \supseteq B$ B、 $A ⊆ B$ C、 $A = B$ D、以上选项均不正确

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2. 设实数 $x$ 满足 $x < 1$ ，则函数 $y = 2 x + 3 + \frac{1}{x - 1}$ 的最大值是（）

A、 $1 - 2 \sqrt{2}$ B、 $5 + 2 \sqrt{2}$ C、 $1 + 2 \sqrt{2}$ D、 $5 - 2 \sqrt{2}$

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3. 若角 $α$ 的终边过点 $B (a ， - 5) (a \neq 0)$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $s i n α < 0$ B、 $c o s α > 0$ C、 $t a n α > 0$ D、 $c o s α < 0$

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4. 函数f(x)= $\frac{\sin x + x}{\cos x + x^{2}}$ 在[- $π$ ， $π$ ]。的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. “田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒。该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马A1，B1，C1，田忌也有上中下三匹马A2， B2， C2，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：A1>A2>B1>B2>C1>C2（注：A>B表示A马与B马比赛，A马获胜）.一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利.面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例.已知我方三个数为 $a = c o s ω$ ， $b = t a n ω$ ， $c = c o s ω - t a n ω$ ，对方的三个数以及排序如表所示：

第一局
第二局
第三局
对方
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
$s i n ω$
$c o s ω + s i n ω$
当 $0 ＜ ω ＜ \frac{π}{10}$ 时，我方必胜的排序是（）

A、 $a ， c ， b$ B、 $a ， b ， c$ C、 $b ， c ， a$ D、 $b ， a ， c$

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6. 2021年12月，考古工作者又公布了关于北京建城的一件重要文字证据。这次在琉璃河遗址新发现的铭文，不仅是A国建城最早的文字证据，更是北京建城最早的文字证据.考古学家对现场文物样本进行碳14年代学检测，检验出碳14的残留量约为初始量的69%.已知被测物中碳14的质量M随时间t（单位：年）的衰变规律满足 $M = M_{0} \cdot 2^{- \frac{t}{5730}}$ （ $M_{0}$ 表示碳14原有的质量），据此推测该遗址属于以下哪个时期（参考数据： $l o g_{2} 0.69 \approx - 0.535$ ）（）

A、西周 B、两汉 C、唐朝 D、元朝

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7. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 4 x ， x \leq 4 \\ | l o g_{2} (x - 4) | ， x > 4 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) = t$ 有四个实根 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ ， $(x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4})$ ，则 $x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} + \frac{1}{2} x_{4}$ 的最小值是（）

A、15 B、15.5 C、16 D、17

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8. 下列选项正确的是（）

A、 $5^{2.1} < 2 . 1^{2.1}$ B、 $1 . 1^{- \sqrt{2}} < 0 . 8^{- 1.1}$ C、 ${(\sqrt[4]{3^{3}})}^{\frac{2}{3}} > 2$ D、 $1 . 7^{- 1.5} < 1 . 7^{- 2}$

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二、多选题

9. 已知 $l o g_{3} m = l o g_{27} n$ ，则下列等式恒成立的是（）

A、 $l n n = 3 l n m$ B、 $n = 3 m$ C、 $l o g_{81} (m n) = l o g_{3} m$ D、 $l o g_{3} \frac{m}{n} = - \frac{2 l g n}{3 l g 3}$

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10. 对 $\forall x \in R$ ， $a \leq 2 + s i n x$ 成立的充分不必要条件可以是（）

A、 $a = 0$ B、 $a \leq 1$ C、 $a = 1$ D、 $a = 3$

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11. 王维，字摩诘，号摩诘居士，唐代山水田园派诗人、画家。北宋苏轼在《书摩诘蓝田烟雨图》中评价道：“味摩诘之诗，诗中有画；观摩诘之画，画中有诗。”在王维所做的五言绝句《相思》中，以下诗句不可以作为命题的是（）

A、红豆生南国 B、春来发几枝 C、愿君多采撷 D、此物最相思

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12. 已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，满足 $f (x + 2) = - f (x)$ ，且当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = 2 \sqrt{x}$ ，则（）

A、 $f (- 3) = - 2$ B、不等式 $f (x) ＞ 0$ 的解集是 ${x | 4 k < x < 4 k + 2 ， k \in Z}$ C、函数 $f (x)$ 是周期函数 D、当关于 $x$ 的方程 $f (x) = m x$ 恰有两个不同的解时， $m = 2$

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三、填空题

13. 函数 $y = l o g_{(2 - x)} (5 x - 1) + x$ 的定义域为．

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14. 已知 $t a n a = \frac{2}{3} ， t a n b = \sqrt{3}$ ，则 $\frac{c o s (a + b)}{s i n (a - b)}$ 的值为．

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15. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期是π，且 $f (x)$ 的图象过点 $(\frac{π}{12} ， 1)$ ，则 $f (x)$ 的图象的对称中心坐标为.

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16. 已知 $f (x) = (e^{x - a} - 1) l n (x + 2 a - 1)$ ，若 $f (x) \geq 0$ 对 $x \in (1 - 2 a ， + \infty)$ 恒成立，则实数 $a =$ .

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四、解答题

17. 设集合 $U = R$ ， $A = {x | 1 \leq 3^{x} \leq 27}$ ， $B = {x | m - 1 \leq x \leq 2 m}$ ．

(1)、 $m = 3$ ，求 $A ∩ ∁_{U} B$ ；

(2)、若“ $x \in B$ ”是“ $x \in A$ ”的充分条件，求 $m$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = l o g_{3} \frac{x + 3}{x - 3}$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性并证明；

(2)、判断函数 $f (x + 3)$ 在区间 $(0 ， + ∞)$ 上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论.

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19. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n 2 x + 2 c o s^{2} x + 2$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、将 $y = f (x)$ 的图象上的各点_________得到 $y = g (x)$ 的图象，当 $x \in [- \frac{π}{6} ， \frac{π}{4}]$ 时，方程 $g (x) = m$ 有解，求实数m的取值范围．
在以下①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果①、②都做，则按①给分.

①向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半．

②纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位．

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20. 北京 $2022$ 冬奥会已于 $2$ 月 $4$ 日开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温，与冬奥会相关的周边产品也销量上涨.因可爱而闻名的冰墩墩更是成为世界顶流，在国内外深受大家追捧.对某商户所售的冰墩墩在过去的一个月内（以 $30$ 天计）的销售情况进行调查发现：冰墩墩的日销售单价 $P (x)$ （元/套）与时间 $x$ （被调查的一个月内的第 $x$ 天）的函数关系近似满足 $P (x) = 2000 + \frac{k}{\sqrt{x + 1}}$ （常数 $k > 0$ ），冰墩墩的日销量 $Q (x)$ （套）与时间 $x$ 的部分数据如表所示：
$x$
$3$
$8$
$15$
$24$
$Q (x)$ （套）
$12$
$13$
$14$
$15$
已知第 $24$ 天该商品日销售收入为 $32400$ 元，现有以下三种函数模型供选择：
① $Q (x) = t a^{x} + b$ ， ② $Q (x) = p (x - 16)^{2} + q$ ， ③ $Q (x) = m \sqrt{x + 1} + n$

(1)、选出你认为最合适的一种函数模型，来描述销售量与时间的关系，并说明理由；

(2)、根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入 $f (x)$ （ $1 \leq x \leq 30$ ， $x \in N_{+}$ ）在哪天达到最低．

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21. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + ϕ)$ （ $A ＞ 0$ ， $ω ＞ 0$ ， $0 ＜ ϕ ＜ \frac{π}{2}$ ）在一个周期内的图象如图所示， $M ， N ， P$ 为该图象上三个点，其中 $M ， N$ 为相邻的最高点与最低点， $P (- \frac{1}{2} ， 0)$ ．且 $| O M | = \frac{\sqrt{17}}{2}$ ， $| M N | = 2 \sqrt{5}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、 $f (x)$ 的图象向左平移1个单位后得到 $g (x)$ 的图象，分析 $F (x) = f (x) \cdot g (x)$ 在 $[\frac{1}{4} ， \frac{5}{3}]$ 的单调性及最值．

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22. 已知函数 $f (x) = 3 - 2 l n x$ ， $g (x) = l n x$ ．

(1)、若 $x \in [1 ， e^{2}]$ ，求函数 $h (x) = (f (x) + 1) \cdot g (x)$ 的值域；

(2)、已知 $n \in N^{*}$ ，且对任意的 $x \in [e^{n} ， e^{n + 1}]$ ，不等式 $f (x^{2}) \cdot f (\sqrt{x}) \geq k g (x)$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围．

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	第一局	第二局	第三局
对方	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$s i n ω$	$c o s ω + s i n ω$

$x$	$3$	$8$	$15$	$24$
$Q (x)$ （套）	$12$	$13$	$14$	$15$