北京延庆区2022-2023学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2023-01-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. $\sqrt[4]{(- 2)^{4}}$ 的值为（）

A、 $\pm 2$ B、 $\pm 4$ C、2 D、4

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2. 当 $a > 1$ 时，在同一坐标系中，函数 $y = a^{x}$ 与 $y = {log}_{a} x$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列函数中，在区间 $(0 ， + ∞)$ 上为减函数的是（）

A、 $y = \frac{2}{2 - x}$ B、 $y = l n (x + 2)$ C、 $y = x^{- 3}$ D、 $y = 3^{x}$

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4. 设 $x ∈ R$ 且 $x \neq 0$ ，则“ $x > 1$ ”是“ $x + \frac{1}{x} > 2$ ”成立的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 若 $a > b > 0, c > d > 0$ ，则一定有（）

A、 $\frac{a}{c} > \frac{b}{d}$ B、 $\frac{a}{c} < \frac{b}{d}$ C、 $\frac{a}{d} > \frac{b}{c}$ D、 $\frac{a}{d} < \frac{b}{c}$

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6. 下列函数中定义域为 $R$ 的是（）

A、 $y = x^{\frac{1}{2}}$ B、 $y = x^{\frac{5}{4}}$ C、 $y = x^{\frac{2}{3}}$ D、 $y = x^{- \frac{1}{3}}$

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7. 从2015年到2022年，某企业通过持续的技术革新来降低其能源消耗，到了2022年该企业单位生产总值能耗降低了30％．如果这7年平均每年降低的百分率为 $x$ ，那么 $x$ 满足的方程是（）

A、 $7 x = 0.3$ B、 $7 (1 - x) = 0.7$ C、 $x^{7} = 0.3$ D、 $(1 - x)^{7} = 0.7$

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8. 设 $a = l o g_{3} 10$ ， $b = 2^{0.9}$ ， $c = 0 . 9^{3.1}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $b < a < c$ D、 $a < c < b$

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9. 已知函数 $f (x) = \frac{5}{x} - l o g_{3} x$ ，在下列区间中，包含 $f (x)$ 零点的区间是（）

A、 $(2 ， 3)$ B、 $(3 ， 4)$ C、 $(4 ， 5)$ D、 $(5 ， 6)$

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10. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $(\sqrt{x})^{3} + 2022 \sqrt{x} = a$ ， $(\sqrt{y} - 2)^{3} + 2022 (\sqrt{y} - 2) = - a$ ，则 $x + y$ 的最小值是（）

A、1 B、2 C、4 D、5

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二、填空题

11. 函数 $f (x) = l o g_{0.5} (2 x - 4)$ 的定义域为．

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12. $3 \times 2^{- 1} - l o g_{2} 8 + {(27)}^{\frac{1}{3}} =$ .

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13. 已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x} + 1$ ，则关于 $x$ 的不等式 $f (2 x - 1) + f (x + 1) > 2$ 的解集为.

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14. 函数 $y = 2^{x - 3}$ 的图象是由函数 $y = 2^{x}$ 的图象向平移个单位得到的．

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15. 某单位共有20人，他们的年龄分布如下表所示．
年龄
28
29
30
32
36
40
45
人数
2
2
3
6
4
2
1
则这20人年龄的众数是， 75％分位数是．

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三、解答题

16. 已知非空集合 $A = {x ∣ a - 1 < x < 3 a}$ ，不等式 $x^{2} - 3 x - 10 < 0$ 的解集为 $B$ ．

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A ⊆ B$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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17. 已知甲的投篮命中率为0.6，乙的投篮命中率为0.7，丙的投篮命中率为0.5，求：

(1)、甲，乙，丙各投篮一次，三人都命中的概率；

(2)、甲，乙，丙各投篮一次，恰有两人命中的概率；

(3)、甲，乙，丙各投篮一次，至少有一人命中的概率．

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18. 某校从小明所在的高一年级的600名学生中，随机抽取了50名学生，对他们家庭中一年的月均用水量（单位：吨）进行调查，并将月均用水量分为6组： $[3 ， 5)$ ， $[5 ， 7)$ ， $[7 ， 9)$ ， $[9 ， 11)$ ， $[11 ， 13)$ ， $[13 ， 15]$ 加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求出图中实数 $a$ 的值，并根据样本数据，估计小明所在的高一年级的600名同学家庭中，月均用水量不低于11吨的约有多少户；

(2)、在月均用水量不低于11吨的样本数据中，小明决定随机抽取2名同学家庭进行访谈，求这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于 $[13 ， 15]$ 组的概率．

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19. 已知函数 $f (x) = l g (2 + x) - l g (2 - x)$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、若 $f (x) \leq 0$ ，求 $x$ 的取值范围；

(3)、当 $x \in [0 ， 1]$ 时，求 $f (x)$ 的值域．

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20. 已知函数 $f (x) = 4^{x} - a \cdot 2^{x} + 1$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的反函数 $f^{- 1} (x)$ ；

(2)、若 $x \in [1 ， 2]$ 时 $f (x)$ 的最小值是 $g (a)$ ，求 $g (a)$ 解析式．

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21. 已知集合 $A$ 是集合 $N^{*}$ 的子集，对于 $i \in N^{*}$ ，定义 $f_{i} (A) = {\begin{array}{l} 1 ， i \in A \\ 0 ， i \notin A \end{array}$ ．任取 $N^{*}$ 的两个不同子集 $A$ ， $B$ ，对任意 $i \in N^{*}$ ．

(1)、判断 $f_{i} (A \cup B) = f_{i} (A) + f_{i} (B)$ 是否正确？并说明理由；

(2)、证明： $f_{i} (A \cap B) = f_{i} (A) \cdot f_{i} (B)$ ．

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年龄	28	29	30	32	36	40	45
人数	2	2	3	6	4	2	1