北京市密云区2022-2023学年高一上学期数学（12月）期末试卷

试卷更新日期：2023-01-07 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 1 < x \leq 2}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1}$

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2. 设命题 $p$ ： $\exists n \in N, n^{2} > 2 n + 5$ ，则 $p$ 的否定为（）

A、 $\forall n \in N, n^{2} > 2 n + 5$ B、 $\forall n \in N, n^{2} \leq 2 n + 5$ C、 $\exists n \in N, n^{2} \leq 2 n + 5$ D、 $\exists n \in N, n^{2} = 2 n + 5$

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3. 若 $c o s θ > 0$ ， $s i n θ < 0$ ，则角 $θ$ 是（）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角

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4. 下列函数中，既是奇函数，又在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减的是（）

A、 $y = \frac{1}{x}$ B、 $y = s i n x$ C、 $y = x^{- 2}$ D、 $y = e^{x} + e^{- x}$

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5. 下列不等式成立的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a < b$ ，则 $a^{3} < b^{3}$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} < a b < b^{2}$ D、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$

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6. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 以射线 $O x$ 为始边，终边与单位圆的交点位于第四象限，且横坐标为 $\frac{4}{5}$ ，则 $s i n (π + α)$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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7. 已知函数 $y = x + \frac{4}{x - 2} (x > 2)$ ，则此函数的最小值等于（）

A、 $\frac{4 \sqrt{x}}{\sqrt{x - 2}}$ B、 $\frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x - 2}}$ C、 $4$ D、 $6$

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8. “ $x$ 是第一象限角”是“ $y = c o s x$ 是单调减函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 香农定理是通信制式的基本原理．定理用公式表达为： $C = B l o g_{2} (1 + \frac{S}{N})$ ，其中 $C$ 为信道容量（单位： $b p s$ ）， $B$ 为信道带宽（单位： $H z$ ）， $\frac{S}{N}$ 为信噪比．通常音频电话连接支持的信道带宽 $B = 3000$ ，信噪比 $\frac{S}{N} = 1000$ ．在下面四个选项给出的数值中，与音频电话连接支持的信道容量 $C$ 最接近的值是（）

A、 $30000$ B、 $22000$ C、 $20000$ D、 $18000$

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10. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ ，满足 $f (1) = 0$ 且对任意的正数 $a ， b (a \neq b)$ ，有 $\frac{f (a) - f (b)}{a - b} < 0$ ，则不等式 $\frac{f (x - 1)}{x - 1} < 0$ 的解集是（）

A、 $(- 2 ， 0) \cup (1 ， + \infty)$ B、 $(- ∞ ， - 2) \cup (2 ， + ∞)$ C、 $(- \infty ， 0) ∪ (2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 0) \cup (1 ， + \infty)$

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二、填空题

11. 函数 $y = \sqrt{x - 1} + \frac{1}{x - 2}$ 的定义域为.

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12. 计算： $l g 2 + l g 5 - l o g_{2} 4 - {(\frac{16}{9})}^{- \frac{1}{2}} =$ ．（用数字作答）

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13. 混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用．在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，对于 $x_{0} \in R$ ，令 $x_{n} = f (x_{n - 1})$ $(n = 1 ， 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot)$ ，若 $\exists k \in N (k \geq 2)$ 使得 $x_{k} = x_{0}$ ，且当 $0 < j < k$ ， $j \in N$ 时， $x_{j} \neq x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的一个周期为 $k$ 的周期点．给出下列四个结论：
①若 $f (x) = 2 (1 - x)$ ，则 $\frac{2}{3}$ 是 $f (x)$ 周期为 $2$ 的周期点；
②若 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x ， x < \frac{1}{2} \\ 2 (1 - x) ， x \geq \frac{1}{2} \end{array}$ ，则 $\frac{2}{5}$ 是 $f (x)$ 周期为 $2$ 的周期点；
③若 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x ， x < \frac{1}{2} \\ 2 (1 - x) ， x \geq \frac{1}{2} \end{array}$ ，则 $f (x)$ 存在周期为 $3$ 的周期点；
④若 $f (x) = x (1 - x)$ ，则 $\forall n \in N^{*}$ ， $\frac{1}{2}$ 都不是 $f (x)$ 的周期为 $n$ 的周期点．
其中所有正确结论的序号是．

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14. 已知扇形的圆心角是 $2$ 弧度，半径为 $1$ ，则扇形的弧长为，面积为．

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15. 函数 $y = 2 t a n (x - \frac{π}{3})$ 的定义域是，最小正周期是．

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三、解答题

16. 已知集合 $M = {x | \frac{x}{2} \geq a}$ ， $N = {x | - 1 \leq x < 4}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $M \cap N$ ， $M \cup N$ ；

(2)、当 $a = 0$ 时，求 $M \cap (C_{R} N)$ ；

(3)、当 $N \subseteq M$ 时，求 $a$ 的取值范围．

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17. 已知函数 $f (x) = - x^{2} + 4$ ， $g (x) = | f (x) |$ ．

(1)、求 $g (- 3)$ 和 $g (\frac{1}{2})$ 的值，并画出函数 $g (x)$ 的图象；

(2)、写出函数 $g (x)$ 的单调增区间和值域；

(3)、若方程 $g (x) - a = 0$ 有四个不相等的实数根，写出实数 $a$ 的取值范围．

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18. 设函数 $f (x) = a x^{2} - 2 x - 1$ ，关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 2 x - 1 \leq 0$ 的解集为 $S$ ．

(1)、当 $a = 3$ 时，求函数 $y = f (x)$ 的零点；

(2)、当 $a = 8$ 时，求解集 $S$ ；

(3)、是否存在实数 $a$ ，使得 $S = (- \infty ， - 2] ∪ [- \frac{2}{3} ， + \infty)$ ？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，说明理由．

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19. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 在一个周期内的图象如图所示．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式和最小正周期；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{2 π}{3}]$ 上的最值及对应的x的取值；

(3)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，写出函数 $f (x)$ 的单调区间．

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20. 已知函数 $f (x) = l o g_{3} (9 - x^{2})$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并证明你的结论；

(3)、若 $f (x) \leq l o g_{3} (m x + 10)$ 对于 $x \in (0 ， 2)$ 恒成立，求实数 $m$ 的最小值．

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21. 已知集合 $A$ $N^{*}$ ，规定：集合 $A$ 中元素的个数为 $n$ ，且 $n \geq 2$ ．若 $B = {z | z = x + y ， x \in A ， y \in A ， x \neq y}$ ，则称集合 $B$ 是集合 $A$ 的衍生和集．

(1)、当 $A_{1} = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ， $A_{2} = {1 ， 2 ， 4 ， 7}$ 时，分别写出集合 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 的衍生和集；

(2)、当 $n = 6$ 时，求集合 $A$ 的衍生和集 $B$ 的元素个数的最大值和最小值．

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