北京市大兴区2023届高三上学期数学期末检测试卷

试卷更新日期：2023-01-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x ∣ 1 < x \leq 2}$ ，则 $∁_{R} A =$ （）

A、 ${x ∣ x < 1$ 或 $x \geq 2}$ B、 ${x ∣ x < 1$ 或 $x > 2}$ C、 ${x ∣ x \leq 1$ 或 $x \geq 2}$ D、 ${x ∣ x \leq 1$ 或 $x > 2}$

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2. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）

A、 $y = l n x$ B、 $y = t a n x$ C、 $y = x^{3}$ D、 $y = - \frac{1}{x}$

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3. 在 ${(x - 1)}^{5}$ 展开式中， $x^{2}$ 的系数为（）

A、10 B、5 C、 $- 10$ D、 $- 5$

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4. 设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.已知 $S_{3} = - 3$ ， $a_{5} = 2$ ，则（）

A、 ${a_{n}}$ 为递减数列 B、 $a_{3} = 0$ C、 $S_{n}$ 有最大值 D、 $S_{6} = 0$

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5. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一点 $M$ 与其焦点的距离为5，则点 $M$ 到 $x$ 轴的距离等于（）

A、3 B、4 C、5 D、 $4 \sqrt{2}$

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6. “ $a = 0$ ”是“直线 $x - a y + 2 a - 1 = 0$ $(a \in R)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 某圆锥曲线 $C$ 是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过 $A (- 2 ， 1)$ 和 $B (\frac{3}{2} ， - \frac{\sqrt{2}}{4})$ 两点，则曲线 $C$ 的离心率等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n} \cdot a_{n + 1} = 2^{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $a_{2} = 2$ B、 $a_{4} - a_{3} = 2$ C、 ${a_{2 n}}$ 是等比数列 D、 $a_{2 n - 1} + a_{2 n} = 2^{n + 1}$

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9. “赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中， $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别是 $D F$ ， $A G$ ， $B H$ ， $C E$ 的中点，若 $\vec{A G} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ，则 $2 x + y$ 等于（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、1 D、2

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{c o s π x}{x^{2} - 2 x + 3}$ ，给出下列结论：① $f (x)$ 是周期函数；② $f (x)$ 的最小值是 $- \frac{1}{2}$ ；③ $f (x)$ 的最大值是 $\frac{1}{2}$ ；④曲线 $y = f (x)$ 是轴对称图形，则正确结论的序号是（）

A、①③ B、②④ C、①②③ D、②③④

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二、填空题

11. 已知复数 $z$ 满足 $z \cdot i = 1 + i$ ，则 $| z | =$ .

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12. 一个袋子中装有5个大小相同的球，其中2个红球，3个白球，从中依次摸出2个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到白球的概率是.

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13. 在正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $O$ 为正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的中心.动点 $P$ 沿着线段 $C O$ 从点 $C$ 向点 $O$ 移动，有下列四个结论：
①存在点 $P$ ，使得 $P A^{'} = P B$
②三棱雉 $A^{'} - B D P$ 的体积保持不变；
③ $△ P A^{'} B$ 的面积越来越小；
④线段 $A^{'} B$ 上存在点 $Q$ ，使得 $P Q ⊥ A^{'} B$ ，且 $P Q ⊥ O C$ .
其中所有正确结论的序号是.

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14. 在 $△ A B C$ 中， $a = 2$ ， $b = 2 \sqrt{2}$ .若 $∠ A = \frac{π}{4}$ ，则 $c =$ ；若满足条件的三角形有两个，则 $∠ A$ 的一个值可以是.

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 4 x + a ， x < 1 ， \\ l n x + 1 ， x \geq 1 . \end{array}$ 若 $a = 0$ ，则函数 $f (x)$ 的值域为；若函数 $y = f (x) - 2$ 恰有三个零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题

16. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $0 < | φ | < \frac{π}{2}$ ）部分图象如图所示，已知 $x_{4} - x_{1} = π$ .再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知. 条件①： $x_{1} = \frac{π}{12}$ ；条件②： $x_{2} = \frac{π}{6}$ ；条件③： $x_{3} = \frac{π}{2}$ .注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 的单调减区间.

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17. 如图，在四棱雉 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A B ∥ D C$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $△ P A B$ 为等边三角形，且平面 $P A B ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B = 2 C D = 2$ ， $A D = \sqrt{3}$ ， $M$ ， $Q$ 分别为 $P D$ ， $A B$ 的中点.

(1)、求证： $P B ∥$ 平面 $M Q C$ ；

(2)、求直线 $P C$ 与平面 $M Q C$ 所成角的正弦值.

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18. 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有 $A$ ， $B$ ， $C$ 三类歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三类歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每类歌曲的歌名相互独立，猜对三类歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：
歌曲类别
$A$
$B$
$C$
猜对的概率
0.8
0.5
$p$
获得的奖励基金额/元
1000
2000
3000

(1)、求甲按“ $A$ ， $B$ ， $C$ ”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；

(2)、若 $p = 0.25$ ，设甲按“ $A$ ， $B$ ， $C$ ”的顺序猜歌名获得的奖励基金总额为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望 $E (X)$ ；

(3)、写出 $p$ 的一个值，使得甲按“ $A$ ， $B$ ， $C$ ”的顺序猜歌名比按“ $C$ ， $B$ ， $A$ ”的顺序猜歌名所得奖励基金的期望高.（结论不要求证明）

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19. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 经过直线 $l$ ： $x + 2 y - 2 = 0$ 与坐标轴的两个交点.

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、 $A$ 为椭圆 $E$ 的右顶点，过点 $(2 ， 1)$ 的直线交椭圆 $E$ 于点 $M$ ， $N$ ，过点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线分别与直线 $l$ ， $A N$ 交于点 $P$ ， $Q$ ，求证： $P$ 为线段 $M Q$ 的中点.

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20. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x} - l n (x + a) (a \geq 1)$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线斜率为0，求 $a$ 的值；

(2)、判断函数 $y = f (x)$ 单调性并说明理由；

(3)、证明：对 $\forall x_{1} ， x_{2} \in [0 ， + \infty)$ ，都有 $| f (x_{2}) - f (x_{1}) | \leq | \sqrt{x_{2}} - \sqrt{x_{1}} |$ 成立.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ $(n = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 2022)$ ， $a_{1} ， a_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{2022}$ 为从1到2022互不相同的整数的一个排列，设集合 $A = {x | x = \sum_{j}^{i = 1} a_{n + i} ， n = 0 ， 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 2022 - j}$ ， $A$ 中元素的最大值记为 $M$ ，最小值记为 $N$ .

(1)、若 ${a_{n}}$ 为：1，3，5，…，2019，2021，2022，2020，2018，…，4，2，且 $j = 3$ ，写出 $M$ ， $N$ 的值；

(2)、若 $j = 3$ ，求 $M$ 的最大值及 $N$ 最小值；

(3)、若 $j = 6$ ，求 $M$ 的最小值.

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歌曲类别	$A$	$B$	$C$
猜对的概率	0.8	0.5	$p$
获得的奖励基金额/元	1000	2000	3000