华师大版备考2023中考数学二轮复习专题38 探索数与式的规律

试卷更新日期：2023-01-06 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 有一列按一定规律排列的式子：﹣3m，9m，﹣27m，81m，﹣243m，…，则第n个式子是（）

A、（﹣3）ⁿm B、（﹣3）ⁿ⁺¹m C、3ⁿm D、﹣3ⁿm

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2. 观察下列关于x的单项式： $x$ ， $- 3 x^{2}$ ， $5 x^{3}$ ， $- 7 x^{4}$ ， …按照上述规律，则第2022个单项式是（）

A、 $4045 x^{2022}$ B、 $- 4045 x^{2022}$ C、 $4043 x^{2022}$ D、 $- 4043 x^{2022}$

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3. 计算： $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2_{}^{2}} + \frac{1}{2_{}^{3}} + ⋯ ⋯ + \frac{1}{2_{}^{99}} + \frac{1}{2_{}^{100}}$ 的结果是（）

A、 $1 - \frac{1}{2_{}^{100}}$ B、 $1 - \frac{1}{2_{}^{101}}$ C、 $2 - \frac{1}{2_{}^{100}}$ D、 $2 - \frac{1}{2_{}^{101}}$

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4. 观察后面一组单项式：-4， $7 a$ ， $- 10 a^{2}$ ， $13 a^{3}$ ， …，根据你发现的规律，则第7个单项式是（）

A、 $- 19 a^{7}$ B、 $19 a^{7}$ C、 $- 22 a^{6}$ D、 $22 a^{6}$

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5. 有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4.依次继续下去，第2022次输出的结果是（）

A、8 B、4 C、2 D、1

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6. 《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是（）

A、 $1 - \frac{1}{2^{5}}$ B、 $1 - \frac{1}{2^{4}}$ C、 $\frac{1}{2^{5}}$ D、 $\frac{1}{2^{4}}$

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7. 观察下列等式： $7^{1} = 7$ ， $7^{2} = 49$ ， $7^{3} = 343$ ， $7^{4} = 2401$ ， $7^{5} = 16807$ ， $7^{6} = 117649$ ， $\dots$ ，试利用上述规律判断算式 $7 + 7^{2} + 7^{3} + 7^{4} + \dots + 7^{2020}$ 结果的末位数字是（）

A、0 B、1 C、3 D、7

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8. 将实数1，2，3，6，...按右图所示方式排列．若用(a，b)表示第a排从左向右第b个数，则(3，1)与(21，5)表示的两数之积是（）

A、6 B、12 C、18 D、36

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9. 若a是不为2的有理数，则我们把 $\frac{2}{2 - a}$ 称为a的“奇特数”.如：4的“奇特数”是 $\frac{2}{2 - 4} = - 1$ ， $- 1$ 的“奇特数”是 $\frac{2}{2 - (- 1)} = \frac{2}{3}$ .已知 $a_{1} = 4$ ， $a_{2}$ 是 $a_{1}$ 的“奇特数”， $a_{3}$ 是 $a_{2}$ 的“奇特数”， $a_{4}$ 是 $a_{3}$ 的“奇特数”，…，以此类推，则 $a_{2022}$ 等于（）

A、4 B、 $- 1$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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10. 如图，在平面直角坐标系上有点 $A_{0}$ （1，0），点 $A_{0}$ 第一次跳动至点A（-1，1），第二次点 $A_{1}$ 跳动至点 $A_{2}$ （2，1），第三次点 $A_{2}$ 跳动至点 $A_{3}$ （-2，2），第四次点 $A_{3}$ 跳动至点 $A_{4}$ （3，2），……依此规律跳动下去，则点 $A_{2021}$ 与点 $A_{2022}$ 之间的距离是（）

A、2023 B、2022 C、2021 D、2020

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二、填空题

11. 图是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形演化而成的．若图中的 $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = A_{3} A_{4} = \dots = 1$ ，按此规律继续演化，则线段 $O A_{12}$ 的长为

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12. 已知 $a_{1} = - \frac{2}{3}$ ， $a_{2} = \frac{1}{1 - a_{1}}$ ， $a_{3} = \frac{1}{1 - a_{2}}$ ， $a_{4} = \frac{1}{1 - a_{3}}$ ，．．．则 $a_{2020}$ 的值为．

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13. 如图，某学校数学兴趣小组活动室门上安装了密码锁.凡是参加兴趣活动的同学通过观察门上的小提示，输入密码便可进入活动室.李明同学要参加兴趣活动，走到门口思索了一会儿，输入密码后顺利进入活动室.他输入的密码是.
数学兴趣活动室欢迎你！
$6 # 4 @ 7 = 284270$
$4 # 7 @ 8 = 563288$
$8 # 4 @ 6 = 244872$
$3 # 9 @ 8 =$ 密码

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14. —动点P从数轴上的原点出发，按下列规则运动：①沿数轴的正方向先前进5个单位，然后后退3个单位，如此反复进行.②已知点P每秒只能前进或后退1个单位，设 $x_{n}$ 表示第n秒点P在数轴上的位置所对应的数，则 $x_{2015}$ 为.

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15. 《九章算术》中有这样一个问题：“今有蒲生一日，长三尺；蒲生日自半”．其意思是“有蒲这种植物，蒲第一日长了3尺，以后蒲每日生长的长度是前一日的一半”．则第二十日蒲生长的长度为尺．

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16. 如图，在平面直角坐标系中，将 $△ A B O$ 绕点 $A$ 顺时针旋转到 $△ A B_{1} C_{1}$ 的位置，点 $B$ 、 $O$ 分别落在点 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ 处，点 $B_{1}$ 在 $x$ 轴上，再将 $△ A B_{1} C_{1}$ 绕点 $B_{1}$ 顺时针旋转到 $△ A_{1} B_{1} C_{2}$ 的位置，点 $C_{2}$ 在 $x$ 轴上，将 $△ A_{1} B_{1} C_{2}$ 绕点 $C_{2}$ 顺时针旋转到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 的位置，点 $A_{2}$ 在 $x$ 轴上，依次进行下去….若点 $A (\frac{5}{3} ， 0)$ ， $B (0 ， 4)$ ，则点 $B_{2022}$ 的坐标为．

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三、解答题

17. 阅读下题的计算方法：
计算 $- 5 \frac{5}{6} + (- 9 \frac{2}{3}) + 17 \frac{3}{4} + (- 3 \frac{1}{2})$ .

解：原式 $= [(- 5) + (- \frac{5}{6})] + [(- 9) + (- \frac{2}{3})] + (17 + \frac{3}{4}) + [(- 3) + (- \frac{1}{2})]$

$= [(- 5) + (- 9) + 17 + (- 3)] + [(- \frac{5}{6}) + (- \frac{2}{3}) + \frac{3}{4} + (- \frac{1}{2})]$

$= 0 + (- \frac{5}{4})$

$= - \frac{5}{4}$

上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算： $(- 4 \frac{7}{8}) + (+ 8 \frac{1}{4}) + (- 3 \frac{1}{8})$

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18. 我校七年级数学兴趣小组成员们自主开展数学微项目研究.结合本阶段学内容特点，他们决定研究数的一些“神秘”性质.

探索数的神秘性质
素材	尼科马霍斯是古希腊数学家，他的著作 $《$ 算术入门 $》$ 中记载了各种数分门别类的整理成果，其中任何一个整数 $m$ 的立方都可以写成 $m$ 个连续奇数之和.	举例论证： $1^{3} = 1$ ； $2^{3} = 3 + 5$ ； $3^{3} = 7 + 9 + 11$ ；请你按规律写出： $4^{3} =$ ▲ .
规律总结	当 $m$ 是奇数7时，则等号右边式子中的中间数 $($ 即第4个数 $)$ 为 ▲ ；	当 $m$ 为偶数10时，则等号右边式子中的中间两个数 $($ 即第5和第6个数 $)$ 为 ▲ .
综合应用	利用上面结论计算： $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + 9^{3} + 1 0^{3} + 1 1^{3}$ .
拓展延伸	我们还发现以下规律：已知 $m \geq 2$ ， $n \geq 3$ ，且 $m$ ， $n$ 均为正整数，如果将 $m^{n}$ 进行如图所示的“分解”：若 $m^{n} ($ 且 $m$ ， $n$ 均为不大于 $7$ 的正整数 $)$ 的分解中有奇数31，则 $m^{n}$ 的值为 ▲ .

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四、综合题

19. 有一台功能单一的计算器，只能完成对任意两个整数求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数 $x_{1}$ ，只显示不运算，再输入整数 $x_{2}$ ，显示 $| x_{1} - x_{2} |$ 的结果．比如依次输入1，2，则显示结果1，若此后再输入一个整数，则显示与前面运算结果进行求差后再取绝对值的运算结果．

(1)、若小明依次输入−1，0，1，则显示；

(2)、若小明将2，3，4，5，打乱顺序后一个一个地输入（不重复），则所有显示结果的最小值为；所有显示结果的最大值为；

(3)、若小明依次输入四个连续整数n， $n + 1$ ， $n + 2$ ， $n + 3$ （其中n为整数），则显示结果为；

(4)、若小明将四个连续整数n， $n + 1$ ， $n + 2$ ， $n + 3$ （其中n为整数），打乱顺序后一个一个地输入（不重复），则所有显示结果的最小值为；

(5)、若小明将1到 $2022$ 这 $2022$ 个整数打乱顺序后一个一个地输入（不重复），则所有显示结果的最大值为．

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20. 根据学习“数与式”的经验，通过由“特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．以下是探究过程，请补充完整．

(1)、具体运算，发现规律．
特例1． $\sqrt{1 + 3} = 2$ ．特例2． $\sqrt{1 + \frac{5}{4}} = \frac{3}{2}$ ，特例3． $\sqrt{1 + \frac{7}{9}} = \frac{4}{3}$ ，特例4． $\sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \frac{5}{4}$ ，
特例5．．

(2)、观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：．

(3)、证明你的猜想．

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21. 对于有理数 $a$ ， $b$ ， $n$ ， $d$ ，若 $| a - n | + | b - n | = d$ ，则称 $a$ 和 $b$ 关于 $n$ 的“相对关系值”为 $d$ ，例如， $| 2 - 1 | + | 3 - 1 | = 3$ ，则2和3关于1的“相对关系值”为3．

(1)、-4和6关于2的“相对关系值”为；

(2)、若 $a$ 和3关于1的“相对关系值”为7，求 $a$ 的值；

(3)、若 $a_{0}$ 和 $a_{1}$ 关于1的“相对关系值”为1， $a_{1}$ 和 $a_{2}$ 关于2的“相对关系值”为1， $a_{2}$ 和 $a_{3}$ 关于3的“相对关系值”为1， $\dots$ ， $a_{100}$ 和 $a_{101}$ 关于101的“相对关系值”为1．
① $a_{0} + a_{1}$ 的最大值为；

②直接写出所有 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{100}$ 的值．（用含 $a_{0}$ 的式子表示）

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22. 如图，把数字－1，2，－3，4，－5，…，998，－999，1000，－1001按下图的方式排成一个长方形的阵列.如图，用一个十字型框，可以框住5个数，平移十字型框，可以框住另外的5个数.

(1)、求图中框出的5个数之和；

(2)、设所框住的5个数中，中间的数字为a，求所框住的5个数之和；

(3)、所框住的5数之和能否等于861？若能请求出所框住的5个数，若不能，请说明理由.

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华师大版备考2023中考数学二轮复习 专题38 探索数与式的规律

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二、填空题

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