华师大版备考2023中考数学二轮复习专题29 圆的综合问题二

试卷更新日期：2023-01-06 类型：二轮复习

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一、综合题

1. 综合与实践
问题情境：如图，将一个圆锥的侧面展开后可得到一个圆心角为 $n °$ ，半径为l的扇形 $B O B^{'}$ ，圆锥底面是一个半径为r的圆．母线 $O A$ 在展开图上对应的半径 $O A^{^{'}}$ 经过 $\overset{⌢}{B B^{'}}$ 的中点．

(1)、特例研究：当 $r = 3$ ， $l = 9$ 时，n= ，展开图上， $O A^{^{'}}$ 与OB的夹角为．

(2)、问题提出：求证： $n = \frac{360 r}{l}$ ．

(3)、问题解决：如图2，一种纸质圆锥形生日帽，底面直径为 $12 c m$ ，母线长也为 $12 c m$ ，为了美观，想在底面圆上一点A和与之相对的母线PB中点C之间拉一条细彩带进行装饰，求彩带长度的最小值．（提示：尝试画出圆锥侧面展开图）

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2. 阅读与思考

请阅读下列材料，并完成相应的任务．

在《阿基米德全集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的关于圆的一些问题，其中有这样一个问题：如图1， $A B$ 和 $B C$ 是 $⊙ O$ 的两条弦（即折线 $A B C$ 是圆的一条折弦）， $B C > A B$ ， $M$ 是 $\overset{⌢}{A B C}$ 的中点，则从点M向 $B C$ 所作垂线的垂足D是折弦 $A B C$ 的中点，即 $C D = D B + B A$ ．其部分证明过程如下：

证明：如图2，在 $C D$ 上截取 $C G = A B$ ，连接 $M A$ ， $M B$ ， $M C$ 和 $M G$ ．

∵ $M$ 是 $\overset{⌢}{A B C}$ 的中点，

∴ $M A = M C$ ，

∵ $∠ A = ∠ C$ ，

∴ $△ M A B ≌ △ M C G (S A S)$ ，

∴ $M B = M G$ ，

……

任务：

(1)、补全证明过程，

(2)、如图3，在

⊙ O

中，

\overset{⌢}{B D} = \overset{⌢}{C D}

，

D E ⊥ A C

，若

A B = 4

，

A C = 10

，

D E = 7

，则

O

到

D E

的距离是， O到

A C

的距离是，

⊙ O

的半径是．

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3. 石拱桥是我国古化人民勤劳和w放的结品(如图①)，隋化建造的赵州桥览今约有1400年的历史，是我国古代石拱桥的代表，如图②是根据某石供桥的实物图两出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为 $\overset{⌢}{A B}$ ，桥的跨度(弧所对的弦长)AB=26m，设 $\overset{⌢}{A B}$ 所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，重足为点D，拱高(弧的中点到弦的距离)CD=5m，连接OB．

(1)、直接写出AD与BD的数量关系，

(2)、求这座石拱桥主桥拱的半径，(结果精确到1m)

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4. 如图1，已知 $⊙ O$ 的半径为5，弦 $A B = 4 \sqrt{5}$ ，点C，D在优弧 $\overset{⌢}{B C A}$ 上（点B，C，D顺时针排列）， $\overset{⌢}{C D} = \overset{⌢}{A B}$ ，点F是 $\overset{⌢}{C D}$ 上一动点，连接 $C F$ 并延长，交弦 $A D$ 的延长线于点E.

(1)、求证： $B C ∥ A D$ .

(2)、如图2，连接 $A C$ ， $B F$ ， $A F$ .当 $∠ B F A$ 与 $△ A C E$ 的某一个内角相等，且 $B F$ 的长能确定时，求出所有满足条件的 $B F$ 的长.

(3)、如图3，当 $∠ B = 90 °$ ， $C E = 5 \sqrt{5}$ 时，连接 $A C$ ， $O E$ ， $O E$ 交 $⊙ O$ 于点K，求 $△ K D E$ 面积与 $△ E O C$ 面积的比值.

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5. 如图，AB为 $⊙ O$ 的直径，点C为AB上方 $⊙ O$ 上一点且 $∠ C A B = 30 °$ ，点D为AB下方 $⊙ O$ 上一点，点E为AD上一点， $∠ B O E = ∠ C A D$ ，连接BC，CD，BD.

(1)、求证： $∠ A O E = ∠ C B D$ ；

(2)、求证： $O E = B D$ ；

(3)、连接CE，若 $C E ⊥ A D$ ， $B D = 4$ ，求半径的长.

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6. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ D = 60 °$ ， $A D = 3$ ，对角线 $A C ⊥ B C$ ，点E在射线 $C B$ 的延长线上，连接 $A E$ ，在 $A E$ 上取点O，以点O为圆心， $O A$ 长为半径作 $⊙ O$ 与射线 $C E$ 切于点B，交 $A E$ 于点F，交 $A C$ 于点M．

(1)、求证： $A B = B E$ ；

(2)、求 $A E$ 的长；

(3)、连接 $B M$ ， $O B$ ，直接写出四边形 $A M B O$ 的形状和面积．

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7. 如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是AB上一动点，连接CD，以CD为直径的⊙M交AC于点E，连接BM并延长交AC于点F，交⊙M于点G，连接BE．

(1)、求证：点B在⊙M上．

(2)、当点D移动到使CD⊥BE时，求BC：BD的值．

(3)、当点D到移动到使 $\overset{⌢}{C G}$ ＝30°时，求证：AE²+CF²＝EF² ．

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8. 定义：△ABC中， $∠ A + \frac{1}{2} ∠ B = 90^{0}$ ，则称△ABC为半余三角形，∠B叫做半余角．

(1)、如图1，⊙O中，BC是直径，求证：△AOC为半余三角形．

(2)、下列说法正确的是．
①半余三角形一定是钝角三角形；

②直角三角形不可能是半余三角形；

③任何直角三角形都能分割成两个半余三角形．

(3)、如图2，⊙O中，BC是直径，AB=6，AC=8，点D是线段AC上一点（不与点A、点C重合），若△AOD为半余三角形，求OD的长．

(4)、如图3，点E是直径BC上一点，△ABE为半余三角形，且∠BAE为半余角，过点E作EF⊥BC交AC于点F，若△ABC的面积为△AEF面积的7.5倍，求 $\frac{A E}{B C}$ 的值．

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9. 如图，在⊙O中，AB是直径，弧ACB=3弧AP，C是弧PB上一点，过点C做CD⊥AB，垂足是E，交⊙O于D，交AP的延长线于点F，连结CA，CB，PC，PD．

(1)、证明：∠FPC=∠APD；

(2)、若∠PAC=α，∠FPC=β，求β与α满足的关系式；

(3)、连结AD，若AC=3BC，求 $\frac{S_{△ P F D}}{S_{△ A P D}}$ ．

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10. 如图1，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O ， A B = 10 ， B C = 6$ ，点 $D$ 是 $⊙ O$ 一动点（点 $D$ 不与点 $A ， B$ 重合）．

(1)、若 $\overset{⌢}{B C} = \overset{⌢}{C D}$ ，连结 $A D ， C D ， O C$ ，求证： $O C ∥ A D$ ．

(2)、在（1）的条件下，求 $A D$ 的长．

(3)、如图2，若 $C D$ 平分 $∠ A C B$ ，连结 $A D$ ，求 $△ A C D$ 的面积．

(4)、当 $A D$ 为何值时， $△ A C D$ 为等腰三角形？

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11. 如图，AB为⊙O的弦，P是优弧 $\overset{⌢}{A P B}$ 上的动点，PO交AB于点C，交⊙O于点D，作PF⊥AB，交OB于点E，交AB于点F，交⊙O于点G，连结CE．

(1)、当∠A=∠AOC=30°时，求∠ECB的大小．

(2)、当CE∥OA时，求证： $\overset{⌢}{A D}$ = $\overset{⌢}{D G}$ = $\overset{⌢}{G B}$ ．

(3)、当AC=CE，CF=FB时，求 $\frac{A C}{C B}$ 的值．

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12. 如图1，在平面直角坐标系中，点A（-4，0），点B是y轴正半轴上一点，以AB为直径作OM，A与C关于y轴对称，直线CM交OM于点D，E（点E在左侧），交y轴于点F．设OB=a．

(1)、求M的坐标（用a的代数式表示）和AC的长．

(2)、若E是半圆AB的中点，求点E的坐标．

(3)、如图2，过点A作AG∥CE交y轴于点G，连结BD并延长交AG延长线于点K．
①试说明△ABK是等腰三角形．

②当点G为AK中点时，求a的值．

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13. 如图1，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在 $\overset{⌢}{B C}$ 上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB，设∠ACB＝α．

(1)、用含α的代数式表示∠BFD．

(2)、如图2，若FG∥AC交BC于点G，BE＝FG，连结BD，DG，求证：△BDE≌△FDG．

(3)、在（2）的条件下，如图3，当AD为⊙O的直径， $\overset{⌢}{A B}$ 的长为2时，求 $\overset{⌢}{A C}$ 的长．

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14. 如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．

(1)、求证： $B C ∥ P F$ ；

(2)、若⊙O的半径为 $\sqrt{5}$ ， DE＝1，求AE的长度；

(3)、在（2）的条件下，求 $△ D C P$ 的面积．

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15. 一个玻璃球体近似半圆 $O ， A B$ 为直径，半圆 $O$ 上点 $C$ 处有个吊灯 $E F ，$ $E F / / A B ，$ $C O ⊥ A B ， E F$ 的中点为 $D ， O A = 4 .$

(1)、如图①， $C M$ 为一条拉线， $M$ 在 $O B$ 上， $O M = 1.6 ， D F = 0.8 ，$ 求 $C D$ 的长度．

(2)、如图②，一个玻璃镜与圆 $O$ 相切， $H$ 为切点， $M$ 为 $O B$ 上一点， $M H$ 为入射光线， $N H$ 为反射光线， $∠ O H M = ∠ O H N = 45 ° ， t a n ∠ C O H = \frac{3}{4} ，$ 求 $O N$ 的长度．

(3)、如图③， $M$ 是线段 $O B$ 上的动点， $M H$ 为入射光线， $∠ H O M = 50 ° ， H N$ 为反射光线交圆 $O$ 于点 $N ，$ 在 $M$ 从 $O$ 运动到 $B$ 的过程中，求 $N$ 点的运动路径长．

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16. 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线 $A D$ 方向泻至水渠 $D E$ ，水渠 $D E$ 所在直线与水面 $P Q$ 平行；设筒车为 $⊙ O$ ， $⊙ O$ 与直线 $P Q$ 交于P，Q两点，与直线 $D E$ 交于B，C两点，恰有 $A D^{2} = B D \cdot C D$ ，连接 $A B ， A C$ ．

(1)、求证： $A D$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、筒车的半径为 $3 m$ ， $A C = B C ， ∠ C = 30 °$ ．当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，求筒车在水面下的最大深度（精确到 $0.1 m$ ，参考值： $\sqrt{2} \approx 1.4 ， \sqrt{3} \approx 1.7$ ）．

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17. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $M (a ， b) ， N .$ 对于点 $P$ 给出如下定义：将点 $P$ 向右 $(a \geq 0)$ 或向左 $(a < 0)$ 平移 $| a |$ 个单位长度，再向上 $(b \geq 0)$ 或向下 $(b < 0)$ 平移 $| b |$ 个单位长度，得到点 $P'$ ，点 $P'$ 关于点 $N$ 的对称点为 $Q$ ，称点 $Q$ 为点 $P$ 的“对应点”．

(1)、如图，点 $M (1 ， 1) ，$ 点 $N$ 在线段 $O M$ 的延长线上，若点 $P (- 2 ， 0) ，$ 点 $Q$ 为点 $P$ 的“对应点”．
①在图中画出点 $Q$ ；
②连接 $P Q ，$ 交线段 $O N$ 于点 $T .$ 求证： $N T = \frac{1}{2} O M ；$

(2)、 $⊙ O$ 的半径为1， $M$ 是 $⊙ O$ 上一点，点 $N$ 在线段 $O M$ 上，且 $O N = t (\frac{1}{2} < t < 1)$ ，若 $P$ 为 $⊙ O$ 外一点，点 $Q$ 为点 $P$ 的“对应点”，连接 $P Q .$ 当点 $M$ 在 $⊙ O$ 上运动时直接写出 $P Q$ 长的最大值与最小值的差（用含 $t$ 的式子表示）

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18. 如图，已知 $B C$ 是 $△ A B C$ 外接圆 $⊙ O$ 的直径， $B C = 16$ ．点D为 $⊙ O$ 外的一点， $∠ A C D = ∠ B$ ．点E为 $A C$ 中点，弦 $F G$ 过点E． $E F = 2 E G$ ．连接 $O E$ ．

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求证： $(O C + O E) (O C - O E) = E G \cdot E F$ ；

(3)、当 $F G ∥ B C$ 时，求弦 $F G$ 的长．

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19. 如图所示，在 $⊙ O$ 的内接 $△ A M N$ 中， $∠ M A N = 90 °$ ， $A M = 2 A N$ ，作 $A B ⊥ M N$ 于点P，交 $⊙ O$ 于另一点B，C是 $\overset{⌢}{A M}$ 上的一个动点（不与A，M重合），射线 $M C$ 交线段 $B A$ 的延长线于点D，分别连接 $A C$ 和 $B C$ ， $B C$ 交 $M N$ 于点E．

(1)、求证： $△ C M A ∽ △ C B D$ ．

(2)、若 $M N = 10$ ， $\overset{⌢}{M C} = \overset{⌢}{N C}$ ，求 $B C$ 的长．

(3)、在点C运动过程中，当 $t a n ∠ M D B = \frac{3}{4}$ 时，求 $\frac{M E}{N E}$ 的值．

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20. 如图，四边形ABCD中， $A D ∥ B C$ ，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3， $A B = 2 \sqrt{3}$ ，DH⊥BC于点H ．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°， $P M = 4 \sqrt{3}$ ．

(1)、求证：△PQM≌△CHD；

(2)、△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．
①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；

②如图2，点K在BH上，且 $B K = 9 - 4 \sqrt{3}$ ．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长；

③如图3．在△PQM旋转过程中，设PQ ， PM分别交BC于点E ， F ，若BE＝d ，直接写出CF的长（用含d的式子表示）．

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华师大版备考2023中考数学二轮复习 专题29 圆的综合问题二

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