辽宁省大连市中山区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-01-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 若二次根式 $\sqrt{x - 3}$ 有意义,则 $x$ 的取值范围是（）

A、x>3 B、 $x \geq 3$ C、x<3 D、 $x \leq 3$

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3. 平面直角坐标系中，点 $(- 4, 3)$ 关于y轴对称的点的坐标为（）

A、 $(4, - 3)$ B、 $(4, 3)$ C、 $(- 4, - 3)$ D、 $(3, - 4)$

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $3 a^{2} \cdot 2 a = 6 a^{2}$ B、 ${(a^{- 2})}^{- 3} = a^{6}$ C、 $a^{4} \div a^{2} = 2$ D、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$

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5. 下列计算错误的是（）

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = 3$ C、 $\sqrt{3} \times \sqrt{2} = \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{6} \div \sqrt{3} = \sqrt{2}$

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6. 与分式 $\frac{- a + b}{- a - b}$ 相等的是（）

A、 $\frac{a + b}{a - b}$ B、 $\frac{a - b}{a + b}$ C、 $- \frac{a + b}{a - b}$ D、 $- \frac{a - b}{a + b}$

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7. 如图，要测量河两岸相对的两点 A，B的距离，先在 AB的垂线 BF上取两点 C，D，使 BC＝CD，再作出 BF的垂线 DE，使点 A，C，E在同一条直线上（如图），可以说明△ABC≌△EDC，得 AB＝DE，因此测得 DE的长就是 AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（）

A、SAS B、HL C、SSS D、ASA

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8. 若多项式 $x^{2} + b x + c$ 因式分解的结果为 $(x - 2) (x + 3)$ ，则 $b + c$ 的值为（）

A、 $- 5$ B、 $- 1$ C、5 D、6

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9. 如图， $△ A B C ≌ △ D E C$ ，点B，C，D在同一条直线上，且 $C E = 1$ ， $C D = 3$ ，则 $B D$ 的长是（）

A、 $1.5$ B、2 C、4 D、6

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10. 如图所示，以 $∠ A O B$ 的顶点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 $O A$ 于点 C，交 $O B$ 于点 D，再分别以点 C 、 D 为圆心，大于 $\frac{1}{2} C D$ 长为半径画弧，两弧在 $∠ A O B$ 内部交于点 E，过点 E 作射线 $O E$ ，连接 $C D$ $．$ 则下列说法错误的（　　）

A、射线 $O E$ 是 $∠ A O B$ 的平分线 B、 $△ C O D$ 是等腰三角形 C、C、D 两点关于 $O E$ 所在直线对称 D、O、E 两点关于 $C D$ 所在直线对称

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二、填空题

11. 化简 $\frac{1}{\sqrt{5}}$ ＝．

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12. 因式分解：x³-9x=.

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13. 计算： $(15 a^{2} b - 10 a b^{2}) \div 5 a b =$ ．

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14. 如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁 $A B$ 的中点，立柱 $B C$ ， $D E$ 分别垂直于横梁 $A C$ ，若 $A B = 7.6 m$ ， $∠ A = 30 °$ ，则立柱 $D E$ 的长为m．

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15. 如图，已知： $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 40 ， B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于D， $A D ： D C = 5 ： 3$ ，则D点到 $A B$ 的距离是．

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16. 如图， $△ A B C$ 中， $A B$ ， $A C$ 的垂直平分线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 相交于点O，若 $∠ B A C$ 等于 $α$ ，则 $∠ O B C =$ ．（用含 $α$ 的式子表示）

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三、解答题

17. 如图， $∠ B = ∠ C = 90 °$ ，点E、F在线段 $B C$ 上， $A F = D E$ ， $B E = C F$ ．求证： $A B = D C$ ．

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18. 计算：

(1)、 $2 \sqrt{12} - 6 \sqrt{\frac{1}{3}} + 3 \sqrt{48}$ ；

(2)、 $(\sqrt{3} + 3) (\sqrt{3} - 2)$ ．

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19. 计算：

(1)、 $\frac{1}{a^{2} + 2 a + 1} \div \frac{1}{a^{2} - 1} + \frac{a + 3}{a + 1}$ ；

(2)、解方程： $\frac{x}{x + 1} = \frac{3 x}{2 x + 2} + 1$ ．

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20. 列方程解应用题
甲、乙两名学生练习打字，甲打 $135$ 个字所用时间于乙打 $180$ 个字所用时间相同，已知甲平均每分钟比乙少打 $15$ 个字，求甲平均每分钟打字的个数.

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21. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C = a$ ， $B C = b$ ， $∠ A = 40 °$ ．

(1)、作边 $A B$ 的垂直平分线 $M N$ ，交 $A C$ 于点 $D$ ；（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、连接 $B D$ ，求 $∠ D B C$ 的度数；

(3)、 $△ B C D$ 的周长为．

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22.

(1)、如图1，将边长为 $(a + b)$ 的正方形面积分成四部分，可以验证的乘法公式是；（填序号）
① ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ；② ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$
③ $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ ；④ $a (a + b) = a^{2} + a b$

(2)、利用上面得到的乘法公式解决问题：
①已知 $a + b = 5$ ， $a b = 3$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值；
②如图2，点C是线段 $A B$ 上的一点，以 $A C$ 、 $B C$ 为边向两边作正方形，连接 $B D$ ，若 $A B = 7$ ，两正方形的面积和 $S_{1} + S_{2} = 23$ ，求 $△ B C D$ 的面积．

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23. 定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即 $M - N = M N$ ，则称分式N是分式M的“关联分式”．

(1)、已知分式 $\frac{2}{a^{2} - 1}$ ，试说明 $\frac{2}{a^{2} + 1}$ 是 $\frac{2}{a^{2} - 1}$ 的“关联分式”；

(2)、小聪在求分式 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ 的“关联分式”时，用了以下方法：
设 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ 的“关联分式”为 $N$ ，则 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} - N = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} \times N$ ，
∴ $(\frac{1}{x^{2} + y^{2}} + 1) N = \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ ， ∴ $N = \frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1}$ ．
请你仿照小聪的方法求分式 $\frac{x + y}{2 x - 3 y}$ 的“关联分式”．

(3)、①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式 $\frac{a}{b - a}$ 的“关联分式”：．
②若 $\frac{n - 2}{m x + m^{2} + n}$ 是 $\frac{m + 2}{m x + n^{2}}$ 的“关联分式”，则 $m + n$ 的值为．

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24. $△ A B C$ 是等边三角形，点D是 $A C$ 上一点，点E在 $B C$ 的延长线上，且 $A D = C E$ ．

(1)、如图1，当点D是 $A C$ 的中点时，求证： $D B = D E$ ；

(2)、如图2，当点D是 $A C$ 上任意一点时，取 $B D$ 的中点F，连接 $A F ， A E$ ．求 $∠ F A E$ 的度数

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25. 如图， $△ A D B$ 与 $△ B C A$ 均为等腰三角形， $A D = A B = C B$ ，且 $∠ A B C = 90 °$ ， E为 $D B$ 延长线上一点， $∠ D A B = 2 ∠ E A C$ ．

(1)、若 $∠ E A C = 20 °$ ，求 $∠ C B E$ 的度数；

(2)、求证： $A E ⊥ E C$ ；

(3)、若 $B E = a$ ， $A E = b$ ， $C E = c$ ，求 $△ A B C$ 的面积（用含a，b，c的式子表示）．

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