吉林省吉林市丰满区2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2023-01-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列交通标志中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列分式中，是最简分式的为（）

A、 $\frac{3 a}{9 b}$ B、 $\frac{3 p - q}{q - 3 p}$ C、 $\frac{m^{2} - 1}{m^{2} + 1}$ D、 $\frac{x - 2 y}{x^{2} - 4 x y + 4 y^{2}}$

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3. 在下列计算中，正确的是（）

A、 $a^{4} \cdot a^{4} = 2 a^{8}$ B、 ${(- 2 a^{2})}^{3} = - 8 a^{6}$ C、 $a^{3} + a^{4} = a^{7}$ D、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$

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4. 如图，要使一个七边形木架不变形，至少要再钉上木条的根数是（）

A、1根 B、2根 C、3根 D、4根

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5. 如图， $A B = A E$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ，添加下列一个条件后，不能使 $△ A B C ≌ △ A E D$ 的是（）

A、 $∠ C = ∠ D$ B、 $B C = E D$ C、 $∠ B = ∠ E$ D、 $A C = A D$

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6. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D ⊥ A B$ 于点D， $∠ 1 = 30 °$ ， $B D = 2$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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二、填空题

7. 若分式 $\frac{3}{x - 8}$ 有意义，则x的取值范围是．

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8. 在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于x轴对称点的坐标是．

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9. 分解因式： $3 m^{2} - 27 =$ ．

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10. 若等腰三角形有两条边长分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为．

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11. 八边形的内角和是外角和的倍．

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D E ∥ A C$ ， $∠ C = 51 °$ ， $∠ B = 29 °$ ，将 $△ A B C$ 沿 $D E$ 折叠，点B的对应点是点 $B^{'}$ ，则 $∠ B E B^{'}$ 的度数是．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C$ 的垂直平分线分别交 $B C$ ， $A C$ 于点D，E，若 $A B = 6 c m$ ， $B D = 4 c m$ ， $△ A B D$ 的周长为 $16 c m$ ，则 $D C$ 的长为 $c m$ ．

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14. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $A B = 4$ ， $B C = 5$ ， $C D$ 平分 $∠ A C B$ ，如果点P，点Q分别为 $C D$ ， $A C$ 上的动点，那么 $A P + P Q$ 的最小值是．

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三、解答题

15. 利用平方差公式计算： $81 \times 79$ ．

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16. 计算： $\frac{2 a}{a^{2} - b^{2}} - \frac{1}{a + b}$ ．

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17. 解方程： $\frac{1}{x + 3} = \frac{2}{x - 2}$ ．

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18. 先化简，再求值： $\frac{m^{2} - 2 m + 1}{m^{2} - m} \div (m - \frac{m^{2} + 2}{m})$ ，从-2，-1，0，1，2中选择一个有意义的数求值．

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19. 已知： $∠ M O N$ ，点E，F．
求作：点D，使点D在 $∠ M O N$ 的平分线上，且 $D E = D F$ ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 36 °$ ， $A B = A C$ ， $B M$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点M，求证： $A M = B M$ ．

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21. 某投影仪工厂现在平均每天比原计划多生产30台投影仪，现在生产650台投影仪所需时间与原计划生产500台投影仪所需时间相同，求该投影仪工厂原来平均每天生产多少台投影仪？

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22. 如图， $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (4 ， 1)$ ， $B (3 ， 2)$ ， $C (1 ， - 1)$ ．

(1)、填空：点 $A (4 ， 1)$ ， $B (3 ， 2)$ ， $C (1 ， - 1)$ 关于y轴的对称点 $A^{'}$ ， $B^{'}$ ， $C^{'}$ 的坐标分别为：，，；

(2)、在图中作出 $△ A B C$ 关于y轴的对称图形 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ；

(3)、请求出 $△ A B C$ 的面积．

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23. 如图， $C B ⊥ A D$ 交 $A D$ 于点B， $A E = C D$ ， $B E = B D$ ．

(1)、求证： $A B = C B$ ；

(2)、若 $∠ A C D = 60 °$ ，求 $∠ B A E$ 的度数．

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24. 问题背景
如图，图1，图2分别是边长为 $(a + b)$ ， a的正方形，由图1易得 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ．
　　　
类比探究
类比由图1易得公式 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 的方法，依据图2中的已知条件推导出完全平方的另一个公式．
解决问题

(1)、计算： ${(2 m - n)}^{2} =$ ；

(2)、运用完全平方公式计算： $10 5^{2}$ ；

(3)、已知 ${(x + y)}^{2} = 12$ ， $x y = 2$ ，求 ${(x - y)}^{2}$ 的值．

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25. 如图， $A B = A C = 10 c m$ ， $B C = 8 c m$ ，点M为 $A C$ 的中点，点P在线段 $B C$ 上以 $2 c m / s$ 的速度由C点向B点运动，同时点Q在线段 $A B$ 上以 $a c m / s$ 的速度由B点向A点运动．点P的运动时间为 $t s$ ．

(1)、填空： $C P =$ $c m$ ， $B P =$ $c m$ ；（用含t的式子表示）

(2)、当 $A P ⊥ B C$ 时，t=s；

(3)、当 $△ C P M$ 和以点B，P，Q为顶点的三角形全等时，求t和a的值．

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26. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形， $△ B D C$ 是等腰三角形，且 $∠ B D C = 120 °$ ， $D B = D C$ ，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交 $A B$ ， $A C$ 边于M，N两点，连接 $M N$ ，延长 $A B$ 至E，使 $B E = C N$ ，连接 $D E$ ．

(1)、请在横线上写出角的度数，补充 $∠ D B E = ∠ D C N = 90 °$ 的证明过程．
证明：∵ $△ A B C$ 是等边三角形，∴ $∠ A B C = ∠ A C B =$ $°$ ．
∵ $∠ B D C = 120 °$ ， $D B = D C$ ， ∴ $∠ D B C = ∠ D C B =$ $°$ ．
∴ $∠ A B C + ∠ D B C = ∠ A C B + ∠ D C B = 90 °$ ， $∠ A B D = ∠ D C N =$ $°$ ．
∵ $∠ A B D + ∠ D B E = 180 °$ ， ∴ $∠ D B E =$ $°$ ．
即 $∠ D B E = ∠ D C N = 90 °$ ；

(2)、求证： $B M + C N = M N$ ．

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