华师大版备考2023中考数学二轮复习专题14 二次函数二

试卷更新日期：2023-01-06 类型：二轮复习

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一、综合题

1. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 与点 $C$ 关于 $x$ 轴对称，点 $P$ 是抛物线上的一个动点.

(1)、求直线 $B D$ 的解析式；

(2)、当点 $P$ 在第一象限时，求四边形 $B O C P$ 面积的最大值，并求出此时 $P$ 点的坐标；

(3)、在点 $P$ 的运动过程中，是否存在点 $P$ ，使 $△ B D P$ 是以 $B D$ 为直角边的直角三角形？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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2. 已知，点M为二次函数y＝-（x-b）²+4b+1图象的顶点，直线y＝mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B.

(1)、判断顶点M是否在直线y＝4x+1上，并说明理由.

(2)、如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞-（y-b）²+4b+1，根据图象，写出x的取值范围.

(3)、如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（ $\frac{1}{4}$ ， y₁），D（ $\frac{3}{4}$ ， y₂）都在二次函数图象上，试比较y₁与y₂的大小.

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3. 设抛物线 $y = (x - m) (x - n)$ （m、n是实数）.

(1)、若 $m = 2$ ， $n = 1$ ，求二次函数的对称轴，并求出该函数的最小值；

(2)、当 $m = - 3$ ， $n = 1$ 时，已知抛物线 $y = (x + 3) (x - 1)$ 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移a（ $a > 0$ ）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，求a的值；

(3)、当 $0 < m < n < 1$ 时，已知二次函数的图象经过 $(0 ， p)$ ， $(1 ， q)$ 两点（p，q是实数），求证： $0 < p q < \frac{1}{16}$ .

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4. 如图，二次函数 $y_{1} = - x^{2} + b x + c$ 的图象与一次函数 $y_{2}$ 的图象交于点 $A (a ， 1)$ ， $B (3 ， 4)$ .

(1)、若 $y_{2}$ 的解析式为 $y_{2} = \frac{3}{2} x - \frac{1}{2}$ ，求点A的坐标和 $y_{1}$ 的函数表达式；

(2)、在（1）的条件下若点 $P (m ， 0)$ 是x轴上一点，过点P做直线l垂直x轴于点P，直线l与函数 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 交于点M，N，当线段 $M N = 1$ 时，求m的值；

(3)、若点 $C (n ， 1) (n > a)$ 是二次函数 $y_{1}$ 上的点，且 $A C = 5$ ，请直接写出二次函数 $y_{1}$ 的对称轴.

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5. 如图1，已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过原点 $O$ ，它的对称轴是直线 $x = 2$ ，动点 $P$ 从抛物线的顶点 $A$ 出发，在对称轴上以每秒 $1$ 个单位的速度向上运动，设动点 $P$ 运动的时间为 $t$ 秒，连接 $O P$ 并延长交抛物线于点 $B$ ，连接 $O A$ ， $A B$ .

(1)、求抛物线的函数解析式；

(2)、当 $△ A O B$ 为直角三角形时，求 $t$ 的值；

(3)、如图2， $⊙ M$ 为 $△ A O B$ 的外接圆，在点 $P$ 的运动过程中，点 $M$ 也随之运动变化，请你探究：在 $1 \leq t \leq 5$ 时，求点 $M$ 经过的路径长度.

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6. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 4 (a \neq 0)$ 与x轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ ，与y轴交于点C．

(1)、求该抛物线的解析式及对称轴；

(2)、直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求△PAD面积的最大值．

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7. 如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B（0，4）．经过原点O的抛物线y＝-x²+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．

(1)、求抛物线y＝-x²+bx+c的表达式；

(2)、M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN＝2时，求点M的坐标；

(3)、P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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8. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + m x + n$ 交x轴于点 $A (- 2 ， 0)$ 和点B，交y轴于点 $C (0 ， 2)$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、若点M在抛物线上，且 $S_{△ A O M} = 2 S_{△ B O C}$ ，求点M的坐标．

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9. 已知菱形 $O A B C$ 的边长为5，且点 $A (3 ， 4)$ ，点E是线段 $B C$ 的中点，过点A，E的抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与边 $A B$ 交于点D，

(1)、求点E的坐标；

(2)、连接DE，将△BDE沿着DE翻折.
①当 $点 B$ 的对应点 $B^{'}$ 恰好落在线段 $A C$ 上时，求点D的坐标；

②连接 $O B$ ， $B B^{'}$ ，若 $△ B B^{'} D$ 与 $△ B O C$ 相似，请直接写出此时抛物线二次项系数 $a =$ .

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10. 已知抛物线 $y = a x^{2} - 3 a x - 4 a$ 与x轴交于 $A 、 B$ 两点（A左B右），交y轴负半轴点C，P是第四象限抛物线上一点．

(1)、若 $S_{△ A B C} = 5$ ，求a的值；

(2)、若 $a = 1$ ，过点P作直线垂直于x轴，交 $B C$ 于点Q，求线段 $P Q$ 的最大值，并求此时点P的坐标；

(3)、直线 $A P$ 交y轴于点M，直线 $B P$ 交y轴于点N，求 $\frac{4 O M + O N}{O C}$ 的值．

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11. 如图，抛物线y＝−x²+bx+c经过点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，点D在射线CO上运动.

(1)、求该抛物线的表达式和对称轴.

(2)、过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，F（点E在点F的左侧），若EF＝2OC，求点E的坐标.

(3)、记抛物线的顶点关于直线EF的对称点为点P，当点P到x轴的距离等于1时，求出所有符合条件的线段EF的长.

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12. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为 $- 1$ ，点 $M (1 ， m)$ 是其对称轴上一点，y轴上一点 $B (0 ， 1)$ .

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结 $P A$ ， $P B$ ，设点P的横坐标为t， $△ P A B$ 的面积为S，求S与t的函数关系式；

(3)、在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由.

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