华师大版备考2023中考数学二轮复习专题8 一元二次方程

试卷更新日期：2023-01-06 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 下列关于x的方程是一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} + y = 1$ B、 $\frac{1}{x} = 1$ C、 $x^{2} - 4 x = 0$ D、 $a x^{2} + b x + c = 0$

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2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} - \frac{1}{x} = 1$ B、 $\sqrt{3} x^{2} = 2$ C、 $x^{2} + y = 2$ D、 $x + 3 = {(- 3)}^{2}$

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3. 方程 $x^{2} - 4 = 0$ 的根为（）

A、2 B、根号2 C、 $\pm$ 2 D、 $\pm$ 根号2

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4. 已知某企业2月份的产值为250万元，经过技术革新，月产值不断增加，4月份产值达到360万元，若设该企业产值的月平均增长率为x，则可列方程为（）

A、 $250 (1 + x) = 360$ B、 $250 (1 + 2 x) = 360$ C、 $250 + 250 x^{2} = 360$ D、 $250 {(1 + x)}^{2} = 360$

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5. 一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 根的情况是（）

A、没有实数根 B、有两个相等的实数根 C、有两个不相等的实数根 D、无法确定

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6. 某商品经过两次连续涨价，由原来的每件10元上涨为现在的14.4元，设平均每次涨价的百分比为x，则可列方程（）

A、 $14.4 {(1 - x)}^{2} = 10$ B、 $10 (1 + 2 x) = 14.4$ C、 $14.4 (1 - 2 x) = 10$ D、 $10 {(1 + x)}^{2} = 14.4$

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7. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 3 x + (t - 1) = 0$ 有两个实数根， $t$ 为自然数，且该方程的根也都是自然数，则符合条件的所有自然数 $t$ 的和为（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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8. 已知关于x的一元二次方程 $(p + 1) x^{2} + 2 q x + (p + 1) = 0$ （其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（）．

A、1可能是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根 B、 $- 1$ 可能是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根 C、0可能是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根 D、1和-1都是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根

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二、填空题

9. $x = 2$ 是关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 m x + 4 = 0$ 的解，则m= ．

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10. 某小区原有一块长为50米，宽为40米的矩形健身场地，现计划在场内沿四周铺一圈宽度相等的小路，使场地剩余的面积为1824平方米，设这条小路的宽度为x米，则可列方程：．

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11. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} - m x + 2 = 0$ 有一个根是1，则m的值为．

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12. 已知关于x的一元二次方程 $k x^{2} - 2 x + 3 = 0$ 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．

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13. 等腰三角形的一边长为2，另外两边长是方程 $x^{2} - k x + 16 = 0$ 的两个根，则此三角形的周长为．

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14. 如果关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝0有两个实数根x₁ ， x₂ ，且满足数轴上x₁ ， x₂所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有．（填序号）
①方程x²﹣4x＝0是关于2的等距方程；

②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x＋1）（mx＋n）＝0一定是关于2的等距方程；

③若方程ax²＋bx＋c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；

④当两根满足x₁＝3x₂ ，关于x的方程px²﹣x $+ \frac{3}{4} =$ 0是关于2的等距方程．

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三、计算题

15. 解方程： $x^{2} - 1 = 4 (x + 1)$

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四、解答题

16. 某商店代销一种商品，当每件商品的售价为200元时，月销售量为20件，该商店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每件商品每降价10元时，月销售量就会增加5件.综合考虑各种因素，每售出一件商品共需支付厂家及其他费用80元，为了尽快减少库存，月销售量应不低于40件，求每件商品的售价定为多少元时，该商店每月可获得3000元的利润.

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17. 如图，某小区规划在一个长30 m，宽20 m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78 m² ，那么通道的宽应设计成多少m？

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18. 材料：为解方程 $x^{4} - x^{2} - 6 = 0$ ，可将方程变形为 ${(x^{2})}^{2} - x^{2} - 6 = 0$ ，然后设 $x^{2} = y$ ，则 ${(x^{2})}^{2} = y^{2}$ ，原方程化为 $y^{2} - y - 6 = 0$ ，
解得 $y_{1} = - 2$ ， $y_{2} = 3$ ．

当 $y_{1} = - 2$ 时， $x^{2} = - 2$ 无意义，舍去；当 $y_{2} = 3$ 时， $x^{2} = 3$ ，解得 $x = \pm \sqrt{3}$ ．

∴原方程的解为 $x_{1} = - \sqrt{3}$ ， $x_{2} = + \sqrt{3}$ ．

问题：利用上述材料的解题方法，解方程 ${(x^{2} - x)}^{2} - 4 (x^{2} - x) - 12 = 0$ ．

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五、综合题

19. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”.例如x²=4和（x-2）（x+3）=0有且只有一个相同的实数根x=2，所以这两个方程为“同伴方程”.

(1)、根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有：（只填写序号即可）
① ${(x - 1)}^{2} = 9$ ②x²+4x+4=0 ③ $x^{2} + 2 x - 8 = 0$

(2)、关于x的一元二次方程x²-2x=0与x²+x+m-1=0为“同伴方程”，求m的值；

(3)、若关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)同时满足a-b+c=0和9a+3b+c=0，且与
（x-n）（x+3）=0互为“同伴方程”，求n的值.

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20. 某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元，其销售量就减少10件，

(1)、应将每件售价提高多少元时，才能使每天利润为640元？

(2)、店主想要获得每天800元的利润，小红同学认为不可能．你同意小红同学的说法吗？请用所学知识说明理由．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 12 c m$ ， $B C = 24 c m$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 开始沿边 $A B$ 向点 $B$ 以 $2 c m / s$ 的速度移动，动点 $Q$ 从点 $B$ 开始沿边 $B C$ 向点 $C$ 以 $4 c m / s$ 的速度移动，如果 $P$ ， $Q$ 两点分别从 $A$ ， $B$ 两点同时出发，设运动时间为 $x$ $s$ ．

(1)、用含x的式子表示：
$A P =$ $c m$ ，

$B P =$ $c m$ ，

$B Q =$ $c m$ ，

(2)、当 $△ P B Q$ 的面积为 $32 c m^{2}$ 时，求运动时间；

(3)、四边形 $A P Q C$ 的面积能否等于 $172 c m^{2}$ ？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．

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二、填空题

三、计算题

四、解答题

五、综合题

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