人教版备考2023中考数学二轮复习专题33 规律探索问题----数与式

试卷更新日期：2023-01-06 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2ⁿ来表示.即：2¹＝2，2²＝4，2³＝8，2⁴＝16，2⁵＝32，……，请你推算2²⁰²²的个位数字是（）

A、8 B、6 C、4 D、2

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2. 在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琪同学发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中，则当a=18时，b+c的值为（）
a
6
8
10
12
14
…
b
8
15
24
35
48
…
c
10
17
26
37
50
…

A、242 B、200 C、188 D、162

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3. 观察下列代数式： $- \frac{1}{2 a}$ ， $\frac{5}{4 a}$ ， $- \frac{9}{8 a}$ ， $\frac{13}{16 a}$ ， …．按此规律，则第n个代数式是（）

A、 ${(- 1)}^{n + 1} \frac{4 n - 3}{2 n a}$ B、 ${(- 1)}^{n + 1} \frac{4 n - 3}{2^{n} a}$ C、 ${(- 1)}^{n} \frac{4 n - 3}{2 n a}$ D、 ${(- 1)}^{n} \frac{4 n - 3}{2^{n} a}$

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4. 按如下的方法构造一个多位数：先任意写一个整数n（0＜n＜10）作为第一位上的数字，将这个整数n乘以3，若积为一位数，则将其作为第2位上的数字，若积为两位数，则将其个位数字作为第2位上的数字；再将第2位上的数字乘以3，若积为一位数，则将其作为第3位上的数字，若积为两位数，则将其个位数字作为第3位上的数字；…以此类推．若先任意写的一个整数n是7作为第一位上的数字，进行2020次如上操作后得到了第2021位上的数字，则第2022位上的数字是（）

A、1 B、3 C、7 D、9

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5. 填在如图各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出 $a$ 、 $b$ 的值分别为（）

A、 $a = 10$ ， $b = 91$ B、 $a = 12$ ， $b = 91$ C、 $a = 10$ ， $b = 95$ D、 $a = 12$ ， $b = 95$

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6. 定义一种对正整数 $n$ 的“F”运算： ①当 $n$ 为奇数时， $F_{(n)} = 3 n + 1$ ； ②当 $n$ 为偶数时， $F_{(n)} = \frac{n}{2^{k}}$ (其中 $k$ 是使 $F_{(n)}$ 为奇数的正整数) ……，两种运算交替重复进行．例如：取 n=24，则：

若 $n = 22$ ，则第 2021 次“F”运算的结果是（）

A、1 B、4 C、22 D、 $2^{2020}$

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7. 任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如： $2^{3} = 3 + 5$ ， $3^{3} = 7 + 9 + 11$ ， $4^{3} = 13 + 15 + 17 + 19$ ， …按此规律，若 $m^{3}$ 分裂后，其中有一个奇数是2023，则m的值是（）

A、46 B、45 C、44 D、43

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8. a是不为2的有理数，我们把 $\frac{2}{2 - a}$ 称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是 $\frac{2}{2 - 3}$ ＝-2，-2的“哈利数”是 $\frac{2}{2 - (- 2)}$ ＝ $\frac{1}{2}$ ，已知 $a_{1} ＝ - 3$ ， $a_{2}$ 是 $a_{1}$ 的“哈利数”， $a_{3}$ 是 $a_{2}$ 的“哈利数”， $a_{4}$ 是 $a_{3}$ 的“哈利数”，…，依此类推，则 $a_{2022}$ ＝（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、-3 D、 $\frac{2}{5}$

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9. 如图所示的是中国南宋数学家杨辉在详解《九章算法》中出现的三角形状的数列，又称为“杨辉三角形”该三角形中的数据排列有着一定的规律，若将其中 $-$ 组斜数列用字母 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $\dots$ 代替，如图 $2$ ，则 $a_{99} + a_{100}$ 的值为（）

A、9801 B、10000 C、10201 D、10500

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10. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“ $\to$ ”方向排列，如 $(1 ， 0)$ ， $(2 ， 0)$ ， $(2 ， 1)$ ， $(1 ， 1)$ ， $(1 ， 2)$ ， $(2 ， 2)$ ， $⋯$ ，根据这个规律，第 334 个点的坐标为（）

A、 $(8 ， 17)$ B、 $(8 ， 16)$ C、 $(7 ， 17)$ D、 $(7 ， 18)$

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二、填空题

11. 对于正数x，规定 $f (x) = \frac{1}{1 + x}$ ，例如 $f (4) = \frac{1}{1 + 4} = \frac{1}{5} ， f (\frac{1}{4}) = \frac{1}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{4}{5}$ ，则 $f (2021) + f (2020) + ⋯ + f (2) + f (1) + f (\frac{1}{2}) + ⋯ + f (\frac{1}{2020}) + f (\frac{1}{2021})$ 的结果是＝．

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12. 如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方形连续翻折2001次，依次得到点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ， $. . .$ ， $P_{2001}$ ，则点 $P_{2001}$ 的坐标是．

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13. 计算得： $3^{1} = 3$ ， $3^{2} = 9$ ， $3^{3} = 27$ ， $3^{4} = 81$ ， $3^{5} = 243$ ， …，则 $2015^{2022} - 2013^{2022}$ 的个位数字是．

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14. 做个一个数字游戏：
第一步：取一个自然数 $n_{1} = 3$ ，计算得；

第二步：算出的各位数字之和得，计算得；

第三步：算出的各位数字之和得，计算得；

以此类推，a₃= ， $a_{2023} =$ .

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15. 观察等式： $2 + 2^{2} = 2^{3} - 2$ ； $2 + 2^{2} + 2^{3} = 2^{4} - 2$ ； $2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} = 2^{5} - 2 \dots$ 已知按一定规律排列的一组数： $2^{50}$ 、 $2^{51}$ 、 $2^{52}$ 、 $\dots$ 、 $2^{99}$ 、 $2^{100}$ ．若 $2^{50} = a$ ，用含 $a$ 的式子表示这组数的和是．

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16. 如图， $∠ A C D$ 是 $△ A B C$ 的外角， $∠ A B C$ 的平分线与 $∠ A C D$ 的平分线交于点 $A_{1}$ ， $∠ A_{1} B C$ 的平分线与 $∠ A_{1} C D$ 的平分线交于点 $A_{2}$ ， … $∠ A_{n - 1} B C$ 的平分线与 $∠ A_{n - 1} C D$ 的平分线交于点 $A_{n}$ ，设 $∠ A = θ$ ，则 $∠ A_{2022} =$ ．

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三、解答题

17. 如果记 $y = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} = f (x)$ ，并且 $f (1)$ 表示当 $x = 1$ 时y的值，即 $f (1) = \frac{1^{2}}{1 + 1^{2}} = \frac{1}{2}$ ； $f (\frac{1}{2})$ 表示当 $x = \frac{1}{2}$ 时y的值，即 $f (\frac{1}{2}) = \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{1 + {(\frac{1}{2})}^{2}} = \frac{1}{5}$ ；…，求 $f (1) + f (2) + f (\frac{1}{2}) + f (3) + f (\frac{1}{3}) + ⋯ + f (n) + f (\frac{1}{n})$ 的值（结果用含n的代数式表示）．

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18. 观察下列三行数并按规律填空：
－1，2，－3，4，－5，  ▲   ，   ▲   ， …；

1，4，9，16，25，  ▲   ，   ▲   ， …；

0，3，8，15，24，  ▲   ，   ▲   ， ….

（ 1 ）第一行数按什么规律排列？

（ 2 ）第二行数、第三行数分别与第一行数有什么关系？

（ 3 ）取每行数的第10个数，计算这三个数的和．

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a	6	8	10	12	14	…
b	8	15	24	35	48	…
c	10	17	26	37	50	…

人教版备考2023中考数学二轮复习 专题33 规律探索问题----数与式

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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