人教版备考2023中考数学二轮复习专题34 探索规律问题----图形的规律

试卷更新日期：2023-01-06 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 如图， $R t △ O A B$ 中的 $O B$ 与x轴重合， $∠ O B A = 9 0^{°} ， A B = O B = 1 ，$ 将 $△ O A B$ 绕原点O顺时针旋转 $4 5^{°}$ 后得到 $△ O A_{1} B_{1}$ ，将 $△ O A_{1} B_{1}$ 绕原点O顺时针旋转 $4 5^{°}$ 得到 $△ O A_{2} B_{2}$ ， …，如此继续下去，连续旋转2023次得到 $△ O A_{2023} B_{2023}$ ，则点 $A_{2023}$ 的坐标是（）

A、 $(0 ， \sqrt{2})$ B、 $(0 ， - \sqrt{2})$ C、 $(- 1 ， 1)$ D、 $(1 ， - 1)$

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2. 如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点。按照此规律，第n幅图中圆点的个数是（）

A、 $3 n - 1$ B、 $3 n + 1$ C、 $3 n + 2$ D、 $3 n - 2$

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3. 如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（）

A、点P B、点Q C、点M D、点N

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4. 如图，在矩形ABCD中，已知 $A B = 4$ ， $B C = 3$ ，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转 $90 °$ 至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转 $90 °$ 至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2021次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）

A、 $3030 π$ B、 $3031.5 π$ C、 $3033.5 π$ D、 $3032 π$

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5. 为庆祝国庆，小明用大小相等的五角星按一定规律摆出如下图案，则第15个图案五角星的颗数为（）

A、46 B、49 C、52 D、55

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6. 等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、点B、点C对应的数分别为0，-0.5和–1，若△ABC绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2022次后，点B所对应的数是（）

A、2021 B、2021.5 C、2022.5 D、2023

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7. 如图，六边形 $A B C D E F$ 是边长为1的正六边形，曲线 $F K_{1} K_{2} K_{3} K_{4} K_{5} K_{6} K_{7} ⋯$ 叫做“正六边形的渐开线”，其中 $\overset{⌢}{F K_{1}} ， \overset{⌢}{K_{2} K_{3}} ， \overset{⌢}{K_{3} K_{4}} ， \overset{⌢}{K_{4} K_{5}} ， \overset{⌢}{K_{5} K_{6}} ⋯$ 的圆心依次按点 $A ， B ， C ， D ， E ， F$ 循环，一电子宠物从 $K_{1}$ 点出发，沿着“渐开线”爬至点 $K_{7}$ 的路径长为（）

A、 $\frac{7}{3} π$ B、 $7 π$ C、 $9 π$ D、 $\frac{28}{3} π$

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8. 如图所示，按大拇指 $\to$ 食指 $\to$ 中指 $\to$ 无名指 $\to$ 小指 $\to$ 无名指 $\to$ 中指 $\to$ 食指 $\to$ 大拇指 $\to$ 食指 $\dots \dots$ 的顺序，依次数正整数1，2，3，4，5， $\dots$ 以此类推，当第2022次数到中指时，这个数是（）

A、8085 B、8086 C、8087 D、8088

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9. 如图，在△ABC中， $∠ A = α$ ， $∠ A B C$ 的平分线与 $∠ A C D$ 的平分线交于点 $A_{1}$ ，得 $∠ A_{1}$ ， $∠ A_{1} B C$ 的平分线与 $∠ A_{1} C D$ 的平分线交于点 $A_{2}$ ，得 $∠ A_{2}$ ， …， $∠ A_{2022} B C$ 的平分线与 $∠ A_{2022} C D$ 的平分线交于点 $A_{2023}$ ，得 $∠ A_{2023}$ ，则 $∠ A_{2023} =$ （）

A、 $\frac{α}{2022}$ B、 $\frac{α}{2023}$ C、 $\frac{α}{2^{2022}}$ D、 $\frac{α}{2^{2023}}$

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10. 如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A₁B₁C₁D₁ ，再顺次连接四边形A₁B₁C₁D₁各边中点，得到四边形A₂B₂C₂D₂…，如此进行下去，得到四边形A_nB_nC_nD_n ．下列结论正确的个数有
① 四边形A₂B₂C₂D₂是矩形；
② 四边形A₄B₄C₄D₄是菱形；
③ 四边形A₅B₅C₅D₅的周长是 $\frac{a + b}{4}$ ；
④ 四边形A_nB_nC_nD_n的面积是 $\frac{a b}{2^{n + 1}}$ ．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 下列是幼儿园小朋友用火柴棒拼出的一列图形。

第6个图中共有根火柴，第2008个图中有根火柴；

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12. 如图，已知图①是一块边长为1，周长记为C₁的等边三角形卡纸，把图①的卡纸剪去一个边长为 $\frac{1}{2}$ 的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边再剪去一个边长为 $\frac{1}{4}$ 的等边三角形后得到图③，依次剪去一个边长为 $\frac{1}{8}$ 、 $\frac{1}{16}$ 、 $\frac{1}{32}$ …的等边三角形后，得到图④、⑤、⑥、…，记图n（n≥3）中的卡纸的周长为C_n ，则C_n-C_n-1＝．

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13. 如图，在x轴的正半轴上依次截取 $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = ⋯ = A_{n - 1} A_{n} = 1$ ，过点 $A_{1} ， A_{2} ， A_{3} ， ⋯ ， A_{n}$ 分别作x轴的垂线与反比例函数 $y = \frac{10}{x}$ 的图象相交于点 $P_{1} 、 P_{2} 、 P_{3} 、 ⋯ 、 P_{n}$ ，得 $R t △ O_{1} P_{1} A_{1}$ ， $R t △ A_{1} P_{2} A_{2}$ ， $R t △ A_{2} P_{3} A_{3}$ ， …，并设其面积分别为 $S_{1} 、 S_{2} 、 S_{3} 、 ⋯ 、 S_{n}$ ，则 $S_{n} =$ ．（n为正整数）

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14. 李乐用相同的小三角形摆图形（如图），照这样摆下去，摆n个图形需要小三角形个．

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15. 电子跳蚤游戏盘（如图）为三角形ABC，AB＝6，AC＝7，BC＝8，如果电子跳蚤开始时在BC边的P₀点，BP₀＝3，第一步跳蚤从P₀跳到AC边上P₁点，且CP₁＝CP₀；第二步跳蚤从P₁跳到AB边上P₂点，且AP₂＝AP₁；第三步跳蚤从P₂跳回到BC边上P₃点，且BP₃＝BP₂；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为Pn，则P₂₀₂₂与C之间的距离为.

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16. 图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2；再分别连接图2中间小角形三边的中点，得到图3，按上面的方法继续下去.则图2中共有个三角形，第n个图形（图1是第一个图形）中共有个三角形（用含n的代数式表示）.

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17. 观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有 4 个点，第2个图中共有 10 个点，第3个图中共有 19 个点，按此规律第4个图中共有点的个数比第3个图中共有点的个数多个；第20个图中共有点的个数为个.

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三、解答题

18. 图1中，有一个平行四边形；
图2中，由2个相同的平行四边形拼成一排的图形，这图形中可以找到3个平行四边形；
图3中，由3个相同的平行四边形拼成一排的图形，这图形中可以找到6个平行四边形；
由此我们可以提出一个这样的问题：
图4中，由4个相同的平行四边形拼成一排的图形中，可以找到几个平行四边形？
答：10个
请你根据以上事实，将一些相同的平行四边形横向或纵向拼接，由此提出一个数学问题，并写出答案．

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19. 【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有 ▲ 个交点；n条直线相交，最多有 ▲ 个交点（用含n的代数式表示）；
【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有16个班，则这一轮共要进行多少场比赛？

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20. 如图

（问题）用n个2×1矩形，镶嵌一个2×n矩形，有多少种不同的镶嵌方案？（2×n矩形表示矩形的邻边是2和n）

（探究）不妨假设有a_n种不同的镶嵌方案．为探究a_n的变化规律，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论．

探究一：用1个2×1矩形，镶嵌一个2×1矩形，有多少种不同的镶嵌方案？

如图（1），显然只有1种镶嵌方案．所以，a₁＝1．

探究二：用2个2×1矩形，镶嵌一个2×2矩形，有多少种不同的镶嵌方案？

如图（2），显然只有2种镶嵌方案．所以，a₂＝2．

探究三：用3个2×1矩形，镶嵌一个2×3矩形，有多少种不同的镶嵌方案？

一类：在探究一每个镶嵌图的右侧再横着镶嵌2个2×1矩形，有1种镶嵌方案；

二类：在探究二每个镶嵌图的右侧再竖着镶嵌1个2×1矩形，有2种镶嵌方案；

如图（3）．所以，a₃＝1+2＝3．

(1)、探究四：用4个2×1矩形，镶嵌一个2×4矩形，有多少种不同的镶嵌方案？
一类：在探究二每个镶嵌图的右侧再横着镶嵌2个2×1矩形，有种镶嵌方案；

二类：在探究三每个镶嵌图的右侧再竖着镶嵌1个2×1矩形，有种镶嵌方案；

所以，a₄＝．

(2)、探究五：用5个2×1矩形，镶嵌一个2×5矩形，有多少种不同的镶嵌方案？
（仿照上述方法，写出探究过程，不用画图）

……

（结论）用n个2×1矩形，镶嵌一个2×n矩形，有多少种不同的镶嵌方案？

（直接写出a_n与a_n_﹣1 ， a_n_﹣2的关系式，不写解答过程）．

（应用）用10个2×1矩形，镶嵌一个2×10矩形，有 ▲ 种不同的镶嵌方案．

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四、综合题

21. 如图， $∠ M O N = 45 °$ ，在 $∠ M O N$ 内部作以点O为位似中心的正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} A_{2}$ ，正方形 $A_{2} B_{2} C_{2} A_{3}$ ，正方形 $A_{3} B_{3} C_{3} A_{4}$ ， …，正方形 $A_{n} B_{n} C_{n} A_{n + 1}$ ，其对应顶点 $A_{1} ， A_{2} ， A_{3} ， ⋯ ， A_{n}$ ，都在射线 $O N$ 上，对应顶点 $B_{1} ， B_{2} ， B_{3} ， ⋯ ， B_{n}$ ，都在射线 $O M$ 上，将正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} A_{2}$ 的面积记作 $S_{1}$ ，正方形 $A_{2} B_{2} C_{2} A_{3}$ 的面积记作 $S_{2}$ ，正方形 $A_{3} B_{3} C_{3} A_{4}$ 的面积记作 $S_{3}$ ， …，依此类推，正方形 $A_{n} B_{n} C_{n} A_{n + 1}$ 的面积记作 $S_{n}$ ， $A_{1} B_{1} = 1$ ．

(1)、第5个正方形的面积 $S_{5} =$

(2)、第 n个正方形的面积 $S_{n} =$

(3)、若正方形的面积为 $2^{20}$ ，则这是第几个正方形？

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22. 如图几何体是由若干棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），观察该图，探究其中的规律．

(1)、第1个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有个；第2个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有个；第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有个．

(2)、求出第10个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数．

(3)、求出前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数的和．

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人教版备考2023中考数学二轮复习 专题34 探索规律问题----图形的规律

一、单选题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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