人教版备考2023中考数学二轮复习专题20 解直角三角形

试卷更新日期：2023-01-05 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比是1∶ $\sqrt{3}$ ，则AC的长是（）

A、6 $\sqrt{2}$ 米 B、12米 C、3 $\sqrt{3}$ 米 D、6 $\sqrt{3}$ 米

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2. 如图，一艘海轮位于灯塔 $P$ 的北偏东55°方向的 $A$ 处，已知 $P A = 6$ 海里，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，则海轮航行的距离 $A B$ 的长是（）

A、6海里 B、 $6 c o s 55 °$ 海里 C、 $6 s i n 55 °$ 海里 D、 $6 t a n 55 °$ 海里

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3. 一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知 $B C = 6 m$ ， $∠ A B C = α$ ，则房顶A离地面 $E F$ 的高度为（）

A、 $(4 + 3 s i n α) m$ B、 $(4 + 3 t a n α) m$ C、 $(4 + \frac{3}{s i n α}) m$ D、 $(4 + \frac{3}{t a n a}) m$

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4. 如图，在平面直角坐标系内，以坐标原点O为圆心的圆交x轴于A，B两点，其中A点坐标为 $(1 ， 0)$ ， $P (a ， b)$ 为第一象限内圆上一点，连接OP，则 $cos ∠ P O A$ 的值为（）

A、a B、b C、 $\frac{b}{a}$ D、 $\frac{a}{b}$

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5. 由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形， $∠ O A B = ∠ O B C = ∠ O C D = \cdot \cdot \cdot = ∠ O L M = 90 °$ ， $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O D = \cdot \cdot \cdot = ∠ L O M = 30 °$ ．若 $S_{△ A O B} = 1$ ，则图中与 $△ A O B$ 位似的三角形的面积为（）

A、 ${(\frac{4}{3})}^{5}$ B、 ${(\frac{4}{3})}^{6}$ C、 ${(\frac{4}{3})}^{7}$ D、 ${(\frac{4}{3})}^{8}$

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6. 已知：在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 45 ° ， A B = 2 ， A C = \sqrt{3}$ ，则BC的值（）

A、只有1个 B、可以有2个 C、可以有3个 D、无数个

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D ⊥ A B$ ，那么下列结论正确的是（）

A、 $C D = A B \cdot t a n B$ B、 $C D = B C \cdot s i n B$ C、 $C D = A C \cdot s i n B$ D、 $C D = A D \cdot c o t A$

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8. 如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上分别任取一点P，Q，且AP＝CQ，AQ、BP相交于点O.下列四个结论：①若PC＝2AP，则BO＝6OP；②若BC＝8，BP＝7，则PC＝5；③AP²＝OP•AQ；④若AB＝3，则OC的最小值为 $\sqrt{3}$ ，其中正确的是（　　）

A、①②④ B、①③④ C、②③④ D、①②③

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9. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2} - 2 \sqrt{3} x$ 的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点B，P点是该抛物线对称轴上的一点，则 $O P + \frac{1}{2} A P$ 的最小值为（）

A、 $3$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{3 + 2 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{3 + 2 \sqrt{3}}{4}$

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二、填空题

10. 如图，△ABC的顶点都在正方形网格纸的格点上，则sinC=

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11. 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A B = 5$ ，点 $D$ 为 $A B$ 的中点， $s i n ∠ B C D = \frac{4}{5}$ ，那么 $A C$ 的长为．

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12. 如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为 $1 ： 4$ ，若它把物体从地面点 $A$ 处送到离地面 $1$ 米高的 $B$ 处，则物体从 $A$ 到 $B$ 所经过的路程为米．

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13. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， ∠ B = 30 °$ ，点 $D$ 在边 $A B$ 上，点 $E$ 在边 $B C$ 上，将 $△ B D E$ 沿着直线 $D E$ 翻折后，点 $B$ 恰好落在线段 $A C$ 的延长线上的点 $P$ 处，如果 $∠ A P E = 2 ∠ B$ ，那么 $\frac{B D}{A D}$ 的值是．

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14. 已知 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $c o s A = \frac{3}{5}$ ， $A C = 6$ ，那么 $A B$ 的长是．

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15. 有一块三角形材料如图所示， $∠ A = 30 °$ ， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 8$ ．用这块材料剪出一个 $▱ E F D B$ ，其中，点D，E，F分别在 $B C$ ， $A B$ ， $A C$ 上．则剪出的 $▱ E F D B$ 的面积的最大值是．

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16. 如图，点O是正方形 $A B C D$ 的中心， $A B = 3 \sqrt{2}$ ． $R t △ B E F$ 中， $∠ B E F = 90 ° ， E F$ 过点D， $B E ， B F$ 分别交 $A D ， C D$ 于点G，M，连接 $O E ， O M ， E M$ ．若 $B G = D F ， \tan ∠ A B G = \frac{1}{3}$ ，则 $△ O E M$ 的周长为．

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17. 图1是郑州的网红打卡点 “戒指桥”，其数学模型如图2所示．线段 $C D$ 是其中一条拉索，点 $D$ 在圆上，点 $A ， B$ 是圆和水平桥面的交点．小明测得 $A B = 20 m ， B C = 28 m$ ，且在 B点和 $C$ 点观测 $D$ 点的仰角均为 $4 5^{∘}$ ，则 $D$ 点到桥面的距离为 $m$ ， “戒指” 的半径为 $m$ ．

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三、解答题

18. 如图，AD是△ABC中BC边上的高，且∠B=30°，∠C=45°，CD=2．求BC的长．

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19. 如图，在电线杆上的C处引拉线 $C E$ 和 $C F$ 固定电线杆．在离电线杆6米的B处安置测角仪（点B、E、D在同一直线上），在点A处测得电线杆上C处的仰角为 $30 °$ ．已知测角仪的高 $A B$ 为 $\sqrt{3}$ 米，拉线 $C E$ 的长为6米，求测角仪底端（点B）与拉线固定点（E）之间的距离．

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20. 如图，燕尾槽的横断面是等腰梯形ABCD，现将一根木棒MN放置在该燕尾槽中，木棒与横断面在同一平面内，厚度等不计，它的底端N与点C重合，且经过点A．已知燕尾角∠B=54.5°，外口宽AD=180毫米，木棒与外口的夹角∠MAE=26.5°，求燕尾槽的里口宽BC（精确到1毫米）．（参考数据： $\sin 54.5 ° \approx 0.81$ ， $\cos 54.5 ° \approx 0.58$ ， $\tan 54.5 ° \approx 1.40$ ， $\sin 26.5 ° \approx 0.45$ ， $\cos 26.5 ° \approx 0.89$ ， $\tan 26.5 ° \approx 0.50$ ）

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四、综合题

21. 图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40， $\sqrt{2} \approx 1.414$ ）

(1)、求∠ABC的度数；

(2)、测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3~5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）

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22. 如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 10$ ， $A D = 8$ ， $E$ 是 $A D$ 边上的一点，连接 $C E$ ，将矩形 $A B C D$ 沿 $C E$ 折叠，顶点 $D$ 恰好落在 $A B$ 边上的点 $F$ 处，延长 $C E$ 交 $B A$ 的延长线于点 $G$ ．

(1)、求线段 $A E$ 的长；

(2)、求证四边形 $D G F C$ 为菱形；

(3)、如图2， $M$ ， $N$ 分别是线段 $C G$ ， $D G$ 上的动点（与端点不重合），且 $∠ D M N = ∠ D C M$ ，设 $D N = x$ ，是否存在这样的点 $N$ ，使 $△ D M N$ 是直角三角形？若存在，请求出 $x$ 的值；若不存在，请说明理由．

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人教版备考2023中考数学二轮复习 专题20 解直角三角形

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三、解答题

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