人教版备考2023中考数学二轮复习专题19 相似三角形

试卷更新日期：2023-01-05 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的最长边的比是（）

A、1：2 B、1：4 C、1：16 D、无法确定

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2. 如图示，已知 $∠ 1 = ∠ 2$ ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 $△ A B C ∽ △ A D E$ 的是（　　）

A、 $∠ D = ∠ B$ B、 $∠ C = ∠ A E D$ C、 $\frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A E}$ D、 $\frac{A B}{A D} = \frac{B C}{D E}$

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3. 如图，已知 $∠ 1 = ∠ 2$ ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 $△ A B C \sim △ A D E$ 的是（）

A、 $∠ C = ∠ E$ B、 $∠ B = ∠ A D E$ C、 $\frac{A B}{A D} = \frac{B C}{D E}$ D、 $\frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A E}$

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4. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，若DE∥BC， $\frac{A D}{A B} = \frac{2}{5}$ ， AE＝6cm，则AC的长为（）

A、9cm B、12cm C、15cm D、18cm

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5. 如图所示，在△ABC中，D、E为AB、AC的中点，若 $S_{△ A D E} = 2$ ，则四边形DBCE的面积为（　　）

A、4 B、6 C、8 D、10

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6. 如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE＝4，CD＝6，则AC的长为（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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7. 如图， $A B$ 是半圆的直径， $∠ A B C$ 的平分线分别交弦 $A C$ 和半圆于E和D，若 $B E = 2 D E$ ， $A B = 4$ ，则 $A E$ 长为（　　）

A、2 B、 $\sqrt{2} + 1$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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8. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，E在AD上，且CE平分∠BCD，BE平分∠ABC，则下列关系式中成立的有（）
① $\frac{C D}{A B} = \frac{D E}{A E}$ ； ② $\frac{C D}{A B} = \frac{D E}{A B}$ ； ③ $\frac{C E}{D E} = \frac{B E}{A B}$ ；④CE²=CD×BC； ⑤BE²=AE×BC

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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9. 如图，在等边三角形ABC中，点P，Q分别是AC，BC边上的动点（都不与线段端点重合），且AP=CQ，AQ、BP相交于点O.下列四个结论：①若PC=2AP，则BO=6OP；②若BC=8，BP=7，则PC=5；③AP²=OP⋅AQ；④若AB=3，则OC的最小值为 $\sqrt{3}$ ，其中正确的是（）

A、①③④ B、①②④ C、②③④ D、①②③

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二、填空题

10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A M$ 是中线，G是重心， $G D ∥ B C$ ，交 $A C$ 于D.若 $B C = 6$ ，则 $G D =$ .

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11. 已知 $△ A B C$ ∽ $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，顶点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 分别与顶点 $A^{'}$ 、 $B^{'}$ 、 $C^{'}$ 对应， $A D$ 、 $A^{'} D^{'}$ 分别是 $B C$ 、 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 边上的中线，如果 $B C = 3 ， A D = 6 ， B^{'} C^{'} = 2$ ，那么 $A^{'} D^{'}$ 的长是．

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12. 如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，那么AB＝.

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13. 如图，矩形 $D E F G$ 的边 $D E$ 在 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上，顶点 $G$ 、 $F$ 分别在边 $A B$ 、 $A C$ 上．已知 $B C = 6 c m$ ， $D E = 3 c m$ ， $E F = 2 c m$ ，那么 $△ A B C$ 的面积是 $c m^{2}$ ．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 8 c m$ ， $A C = 16 c m$ ，点P从点B开始沿 $B A$ 边向点A以每秒 $2 c m$ 的速度移动，点Q从点A开始沿 $A C$ 边向点C以每秒 $4 c m$ 的速度移动．如果P、Q分别从B、A同时出发，经过秒钟 $△ A P Q$ 与 $△ A B C$ 相似？

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15. 如图，在矩形ABCD和矩形AEGH中，AD∶AB=AH∶AE=1∶2.则DH∶CG∶BE= .

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16. 如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，把△ABE沿直线BE翻折得到△FBE，连接CF并延长交BE的延长线于点P.若AB=5，AE=1.则∠P= ， PC=.

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三、作图题

17. 如图是8×6的正方形网格，已知△ABC，请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论）.

(1)、将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，得到△A₁B₁C₁_，请在图1中作出△A₁B₁C₁.

(2)、在图2中，在AC所在直线的左侧找一格点E，画∠AEC=∠B.

(3)、在图3中，仅用无刻度直尺在线段AC上找一点M，使得 $\frac{A M}{M C} = \frac{2}{3}$ .

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18. 如图，在4×8的网格中，已知格点△ABC（小正方形的顶点称为格点，顶点在格点处的三角形称为格点三角形），在图1、图2中分别画一个格点三角形（所画的两个三角形不全等），使其同时符合下列两个条件.

(1)、与△ABC有一公共角；

(2)、与△ABC相似但不全等.

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四、解答题

19. 已知： $D$ 、 $E$ 是 $△ A B C$ 的边 $A B$ 、 $A C$ 上的点， $A B = 8$ ， $A D = 3$ ， $A C = 6$ ， $A E = 4$ ，求证： $△ A B C \sim △ A E D$ .

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20. 如图， $∠ C A B = ∠ C B D$ ， $A B = 4$ ， $A C = 6$ ， $B D = 7.5$ ， $B C = 5$ ，求 $C D$ 的长．

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21. 如图，边长为1的正方形 $A B C D$ 中，点E为 $A D$ 的中点．连接 $B E$ ，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折叠得到 $△ F B E ， B F$ 交 $A C$ 于点G ，求 $C G$ 的长．

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22. 如图，在直角坐标系中，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 4$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 点，与 $y$ 轴交于 $B$ 点，以 $A B$ 为直径作圆 $O_{1}$ ，过 $B$ 作圆 $O_{1}$ 的切线交 $x$ 轴于点 $C$ ．

(1)、求 $C$ 点的坐标；

(2)、设点 $D$ 为 $B C$ 延长线上一点， $C D = B C$ ， $P$ 为线段 $B C$ 上的一个动点（异于 $B$ ， $C$ ），过 $P$ 点作 $x$ 轴的平行线交 $A B$ 于 $M$ ，交 $D A$ 的延长线于 $N$ ，试判断 $P M + P N$ 的值是否为定值，如果是，则求出这个值；如果不是，请说明理由．

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五、综合题

23. 定义：若一动点P到一条线段 $A B$ 的两个端点的距离满足 $P A = 4 P B$ ，则称P为线段 $A B$ 的 $K Z$ 点，但点P不是线段 $B A$ 的 $K Z$ 点.

(1)、如图1，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 17$ ，若点C是线段 $A B$ 的 $K Z$ 点，求 $A C$ 的长.

(2)、如图2，在 $Δ A B C$ 中，D是边 $A B$ 上一点，连结 $C D$ ，若点A分别是线段 $C D$ ，线段 $B C$ 的 $K Z$ 点.求证：C是线段 $B D$ 的 $K Z$ 点（提示：证明 $△ A D C$ 与 $△ A C B$ 相似）.

(3)、如图3，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $∠ B = 120 °$ ，点E，F分别是 $B C$ ， $C D$ 上的点，且满足 $∠ A E F = 120 °$ .连结 $A F$ ，若点E是线段 $A F$ 的 $K Z$ 点.求 $D F$ 的长.

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24. 如图1，在 $R t △ A C B$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A C = 4 ， B C = 3$ ， D是斜边 $A B$ 上一动点 $(0 < A D < 3.2)$ ，以点A为圆心， $A D$ 长为半径作圆A交 $A C$ 于点F，连结 $C D$ 并延长交圆A于点E，连结 $A E ， D F$ .

(1)、求证： $∠ F A E = 2 ∠ F D C$ .

(2)、如图2，若 $A E ∥ C B$ ，求 $E C$ 的长.

(3)、如图3
①若 $A D$ 平分 $∠ F A E$ ，求圆A的半径长；
②当点D在斜边 $A B$ 上运动时，直接写出 $C D \cdot D E$ 的最大值.

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25. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，过点D作 $D E ∥ A B$ ，交 $B C$ 于点E，连结 $A E$ 交 $B D$ 于点F. 已知 $∠ A F D = ∠ A D B + ∠ C D E$ ，

(1)、①假设 $∠ A B D = α$ ，则 $∠ A F D =$ .
②证明： $A B = A E$ ；

(2)、若 $A B^{2} = B F \cdot B D ， A D = 2$ ，求 $C B$ 的长；

(3)、若 $C E = 2 ， A B = 8$ ，求 $D E$ 的长.

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26.

(1)、【基础巩固】如图1，在 $△ A B C$ 中， $D ， E ， F$ 分别为 $A B ， A C ， B C$ 上的点， $D E ∥ B C ， A F$ 交 $D E$ 于点G，求证： $\frac{D G}{E G} = \frac{B F}{C F}$ .

(2)、【尝试应用】如图2，已知 $D 、 E$ 为 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上的两点，且满足 $B D = 2 D E = 4 C E$ ，一条平行于 $A B$ 的直线分别交 $A D 、 A E$ 和 $A C$ 于点 $L 、 M$ 和 $N$ ，求 $\frac{L M}{M N}$ 的值.

(3)、【拓展提高】如图3，点E是正方形 $A B C D$ 的边 $C D$ 上的一个动点， $A B = 3$ ，延长 $C D$ 至点F，使 $D F = 2 D E$ ，连接 $C G$ ，求 $C G$ 的最小值.

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27. 已知，在 $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{°}$ ， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $A B$ 、 $B C$ 上，且均不与顶点 $B$ 重合， $∠ A D E = ∠ A$ （如图1所示），设 $A D = x$ ， $B E = y$ ．

(1)、当点 $E$ 与点 $C$ 重合时（如图2所示），求线段 $A D$ 的长；

(2)、在图1中当点 $E$ 不与点 $C$ 重合时，求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式及其定义域；

(3)、我们把有一组相邻内角相等的凸四边形叫做等邻角四边形．请阅读理解以上定义，完成问题探究：如图1，设点 $F$ 在边 $A B$ 上， $C E = 3$ ，如果四边形 $A C E F$ 是等邻角四边形，求线段 $A F$ 的长．

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二、填空题

三、作图题

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