山东省青岛市胶州市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-01-05 类型：期末考试

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一、单选题

1. 如图所示几何体的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 如图，斜坡 $A B$ 长 $30 m$ ，坡顶离地面的高度 $B C$ 为 $15 m$ ，则此斜坡的倾斜角为（）

A、 $25 °$ B、 $30 °$ C、 $45 °$ D、 $60 °$

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3. 如图，在一间黑屋子的地面A处有一盏探照灯，当人从灯向墙运动时，他在墙上的影子的大小变化情况是（）

A、变大 B、变小 C、不变 D、不能确定

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4. 已知反比例函数 $y = \frac{m - 1}{x}$ 的图象具有下列特征：在所在象限内，y 的值随 x 的增大而减小，那么m的取值范围是（）

A、 $m > 1$ B、 $m \geq 1$ C、 $m < 1$ D、 $m \leq 1$

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5. 如图，D是AB的中点，E是AC的中点，则△ADE与四边形BCED的面积比是（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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6. 点 $A (- 2 ， y_{1}) ， B (4 ， y_{2}) ， C (6 ， y_{3})$ 均在二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 的图象上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{3} ＞ y_{2} ＞ y_{1}$ B、 $y_{1} = y_{2} ＞ y_{3}$ C、 $y {}_{1}＞ y_{2} ＞ y_{3}$ D、 $y {}_{3}＞ y_{1} = y_{2}$

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7. 随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2021年底某市汽车拥有量为 $19.6$ 万辆，已知2019年底该市汽车拥有量为10万辆，如果设 2019 年底至2021年底该市汽车拥有量的年均增长率为x，那么根据题意列出的方程为（）

A、 $10 (1 + x)^{2} = 19.6$ B、 $10 (1 + 2 x)^{2} = 19.6$ C、 $10 (1 - x)^{2} = 19.6$ D、 $10 (1 - 2 x)^{2} = 19.6$

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8. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则反比例函数 $y = \frac{c}{x}$ 与一次函数 $y = a x + b$ 在同一坐标系内的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 计算：2sin30°－ $\sqrt{2}$ cos 45°= ．

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10. 若 $\frac{y}{x} = \frac{10}{3}$ ，那么 $\frac{y - x}{x}$ 的值为．

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C > A B$ ，过 $A B$ 上一点 D 作直线 $D F$ 交 $A C$ 于点 F，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作出的条数为．

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12. 请写出一个满足条件①②的二次函数表达式 $y =$ ．
①图象的对称轴为直线 $x = 1$ ；②图象经过点 $(0 ， 3)$

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13. 如图是某几何体的三视图，其俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为 $c m^{2}$

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14. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，E为 $A D$ 的中点，F为 $A B$ 的中点， $D F$ 的延长线与 $C B$ 的延长线交于点H， $C E$ 与 $D H$ 相交于点G，若 $A B = 10$ ，则 $B G$ 的长为．

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三、解答题

15. 已知： $R t △ A B C$ ， $∠ B = 90 °$ ，求作：矩形 $A B C D$ ．

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16.

(1)、解方程： $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ ；

(2)、用配方法确定二次函数 $y = x^{2} + 4 x + 5$ 图象的对称轴和顶点坐标．

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17. 为弘扬祖国的优秀传统文化，某校组织了一次“诗词大会”，小明和小颖同时参加，其中，有一道必答题是：从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“柳暗花明又一村”．

(1)、小明回答该问题时，仅对第二个字是选“暗”还是选“岸”难以抉择，若随机选择其中一个，则小明回答正确的概率是；

(2)、小颖回答该问题时，对第二个字是选“暗”还是选“岸”、第四个字是选“名”还是选“明”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小颖回答正确的概率．

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18. 如图是旗杆 $A B$ 竖直放置在矩形平台EFMC上的示意图，在某一时刻旗杆AB形成的影子的顶端恰好落在斜坡 $C D$ 的D处，点F，M，D在一条直线上，现测得 $B C = 10$ $m$ ， $C D = 8$ $m$ ， $∠ C D F = 30 ° ， ∠ A D F = 45 °$ ，求旗杆 $A B$ 的高度．

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19. 《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征，在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等，现在我们来研究另一种特珠的自然数——“纯数”．
定义：对于自然数n，在计算 $n + (n + 1) + (n + 2)$ 时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”．
例如：32是“纯数”，因为计算 $32 + 33 + 34$ 时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算 $23 + 24 + 25$ 时，个位产生了进位．

(1)、判断2022是否是“纯数”？请说明理由；

(2)、请直接写出2023到2050之间的“纯数”；不大于100的“纯数”的个数为．

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20. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3 ， A D = 5$ ，在边 $A D$ 上是否存在一点 E，使 $∠ B E C = 90 °$ ？若存在，求出 $A E$ 的长；若不存在，请说明理由．

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21. 如图，已知一次函数 $y = k x + b$ 的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，且与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象在第二象限内的部分交于点C， $C D$ 垂直于x轴，垂足为D，其中 $O A = O B = O D = 2$ ．

(1)、直接写出A，B两点的坐标；

(2)、求这两个函数的关系式；

(3)、若点P在x轴上，且 $S_{△ A C P} = 12$ ，请直接写出点P的坐标．

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22. 如图在平行四边形 $A B C D$ 中，O 为对角线 $A C$ 的中点，过点 O 的直线 $E F$ 分别交 $B C$ ， $A D$ 于点 E，F．

(1)、求证： $O E = O F$ ；

(2)、从下列条件中任选一个作为已知条件后，试判断四边形 $A E C F$ 的形状，并证明你的结论．① $∠ O A E = ∠ O F C$ ， ② $∠ O A E + ∠ O F C = 9 0^{∘}$ ．
选择的条件： ▲ （填写序号）．（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分）

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23. 冬天来了，为了晾晒衣服，小明在自家前院地面 $(B D)$ 上立两根等长的立柱 $A B ， C D$ （均与地面垂直），并在立柱之间悬挂一根绳子，按如图所示的直角坐标系，绳子的形状可以近似地用抛物线 $y = \frac{1}{10} (x - h)^{2} + k$ 来表示，如图（1），已知 $B D = 6 m$ ，绳子最低点与地面的距离为1.4m．

(1)、求立柱 $A B$ 的长度；

(2)、由于晾晒的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小明用一根垂直于地面的立柱 $M N$ 撑起绳子，如图， $M N$ 的长度为1.65m，通过调整 $M N$ 的位置，使左边抛物线 $F_{1}$ 对应的函数关系式为 $y = \frac{1}{4} x^{2} + m x + n$ ，最低点离地面1.49米，求水平距离 $B N$ ．

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24. 如图，在等边 $△ A B C$ 中， $A B = 8 c m$ ，动点P从点A出发，沿 $A B$ 方向运动；动点Q同时从点C出发，沿 $B C$ 的延长线方向运动，当点P到达点B时，动点P，Q同时停止运动，Q，P两点的运动速度均为1cm/s，过点P作 $P D ⊥ A C$ ，垂足为D， $P Q$ ， $A C$ 相交于点E，设运动的时间为t（s） $(0 < t < 8)$ ．

(1)、当t为何值时， $△ B P Q$ 为直角三角形？

(2)、设四边形 $P B Q D$ 的面积为S（cm $^{2}$ ），写出S与t的关系式；

(3)、在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使 $S_{△ P D A} = S_{四边形 P B Q D} = 1 ： 10$ ？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由，

(4)、试判断 $S_{△ P D E} ， S_{△ P D A} ， S_{△ C E Q}$ 之间有怎样的数量关系？请说明理由．

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