山东省青岛市即墨区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-01-05 类型：期末考试

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一、单选题

1. 如图所示的几何体的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 一元二次方程x²﹣2x+3＝0根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法判断

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3. 为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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4. 如图，在平面直角坐标系中，大鱼与小鱼是关于原点O的位似图形，则下列说法中正确的是（）

A、大鱼与小鱼的相似比是 $3 ： 1$ B、小鱼与大鱼的对应点到位似中心的距离比是 $2 ： 1$ C、大鱼尾巴的面积是小鱼尾巴面积的4倍 D、若小鱼上一点的坐标是 $(a ， b)$ ，则在大鱼上的对应点的坐标是 $(- 2 b ， - 2 a)$

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5. 在平面直角坐标系中，将抛物线 $y = x^{2} - 4 x - 4$ 向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（）

A、 $y = {(x + 1)}^{2} - 13$ B、 $y = {(x - 5)}^{2} - 13$ C、 $y = {(x - 5)}^{2} - 3$ D、 $y = {(x + 1)}^{2} - 3$

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6. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $C A ＝ C B ＝ 4 ， c o s C ＝ \frac{1}{4}$ ，则 sinB 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$

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7. 如图.在平面直角坐标系中，△AOB的面积为 $\frac{27}{8}$ ，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线y＝ $\frac{k}{x}$ 相交于点C，且BC∶OC＝1∶2，则k的值为（）

A、﹣3 B、﹣ $\frac{9}{4}$ C、3 D、 $\frac{9}{2}$

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8. 一次函数 $y = a c x + b$ 与二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 在△ABC中，∠B=45°，cosA= $\frac{1}{2}$ ，则∠C的度数是．

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10. 黄金分割在生活中的应用十分广泛，例如大多数窗户的宽和长的比是黄金比，已知某扇窗户的长为1.8米，则宽约为米．（结果精确到0.1）

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11. 已知反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ ，当 $x < - 1$ 时，y的取值范围为.

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12. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．

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13. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，E为 $C D$ 边上的中点， $A E$ 交 $B D$ 于点O，若 $S_{△ D O E} = 2$ ，则平行四边形 $A B C D$ 的面积为．

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14. 如图， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 交于点 $O$ ， $C E$ 平分 $∠ B C D$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，交 $B D$ 于点 $F$ ，且 $∠ A B C = 60 ° ， A B = 2 B C$ ，连接 $O E$ ．下列结论：① $E O ⊥ A C$ ；② $S_{△ A O D} = 4 S_{△ O C F}$ ；③ $A C ： B D = \sqrt{21} ： 7$ ；④ $F B^{2} = O F • D F$ ．其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）

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三、解答题

15. 已知：如图， $∠ A B C$ 为直角，点D为射线 $A B$ 上一点．
求作：矩形 $D B E F$ ，使线段 $B D$ 为矩形 $D B E F$ 的一条边， $B E ＝ 2 B D$ ，且点F在 $∠ A B C$ 的内部．

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16.

(1)、解方程： $2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$

(2)、已知二次函数 $y = a x^{2} - 2 x + 1$ 的图象与x轴有交点，求a的取值范围．

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17. 为决定谁获得仅有的一张电影票，甲和乙设计了如下的游戏：在三张完全相同的卡片上分别写上字母A，B，B，背面朝上，每次抽取之前先洗匀，甲说：“我随机抽取一张，抽到字母B，电影票归我．”乙说：“我随机抽取一张后放回，再随机抽取一张，若两次抽取的字母相同，电影票归我．”试问：此游戏对谁更有利？并说明理由．

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18. 自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图（1）所示的坡路进行改造．如图（2）所示，改造前的斜坡的高度 $A E = 100$ 米，坡角 $∠ A B E = 30 °$ ；将斜坡 $A B$ 的高度 $A E$ 降低20米后，斜坡 $A B$ 改造为斜坡 $C D$ ，其坡度为1：4，改造后的斜坡多占多长一段地面？（结果保留根号）

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19. 如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝0.8 m，窗高CD＝1.2 m，并测得OE＝0.8 m，OF＝3 m，求围墙AB的高度．

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20. 某商场购进一批进货价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高价格．调查发现，若按每件20元的价格销售，每月能卖出360件，若按每件25元的价格销售，每月能卖210件，假定每月销售量y（件）是销售价格x（元/件）的一次函数．

(1)、求y与x之间的关系式；

(2)、销售价定为多少元时，该商场每月获得利润最大？最大利润是多少？

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21. 如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $D E ⊥ A B$ ， $D F ⊥ A C$ ，垂足分别是E、F，连接 $E F$ ， $E F$ 与 $A D$ 相交千点H．

(1)、求证： $A D ⊥ E F$ ；

(2)、 $△ A B C$ 满足什么条件时，四边形 $A E D F$ 是正方形？说明理由．

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22. 某著名索拉桥，在桥头立柱两侧拉着钢索，以其中一根立柱为y轴，以桥面为x轴建立平面直角坐标系，如下图所示，左侧钢索近似于直线，底端在远离立柱200米的桥面上的B处固定，C处离桥面100米．右侧钢索近似于抛物线，该抛物线最低处A离立柱300米，离桥面10米．

(1)、求出抛物线和直线的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围）

(2)、现要在左右两条钢索上各加一条竖直钢索 $D E$ 和 $F G$ 进行加固，要求它们的水平距离相距200米，请问这两条竖直钢索 $D E$ 和 $F G$ 加在何处，使得它们的高度之和最小？高度之和最小是多少？

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23. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数 $y = \frac{6}{| x |} - | x |$ 的图象，并探究该函数性质．

(1)、绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝ ▲ ．
x
……
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
……
y
……
-3.8
-2.5
-1
1
5
5
a
-1
-2.5
-3.8
……
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；

(2)、探究函数性质，请写出函数y＝ $\frac{6}{| x |}$ -|x|的一条性质：；

(3)、运用函数图象及性质
①写出方程 $\frac{6}{| x |}$ -|x|＝5的解；
②写出不等式 $\frac{6}{| x |}$ -|x|≤1的解集．

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24. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B ＝ 10 c m$ ，对角线 $B D ＝ 12 c m$ ．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿 $A B$ 匀速运动；动点Q同时从点D出发，以2cm/s的速度沿 $B D$ 的延长线方向匀速运动．当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动．设运动时间为 $t (s) (0 ＜ t ＜ 10)$ ，过点P作 $P E ∥ B D$ ，交 $A D$ 于点E，以 $D Q ， D E$ 为边作平行四边形 $D Q F E$ ，连接 $P Q$ ．

(1)、当t为何值时，E为 $A D$ 的中点？

(2)、当t为何值时， $△ B P Q$ 为直角三角形？

(3)、设四边形 $B P F Q$ 的面积为 $S (c m^{2})$ ，求S与t之间的函数关系式；

(4)、是否存在某一时刻t，使点F在 $∠ A B D$ 的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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x	……	-5	-4	-3	-2	-1	1	2	3	4	5	……
y	……	-3.8	-2.5	-1	1	5	5	a	-1	-2.5	-3.8	……