辽宁省大连市中山区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-01-05 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列与2022年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 书架上有1本数学书，2本物理书．从中任取1本书是物理书的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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3. 已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）关于行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知 $Δ A B C ∽ Δ A^{'} B^{'} C^{'} ， A B = 8 ， A^{'} B^{'} = 6$ ，则 $\frac{B C}{B^{'} C^{'}} =$ （）

A、2 B、 $\frac{4}{3}$ C、3 D、 $\frac{16}{9}$

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5. 已知扇形的半径为6，圆心角为 $150 °$ .则它的面积是（）

A、 $\frac{3}{2} π$ B、 $3 π$ C、 $5 π$ D、 $15 π$

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6. 如图，在△ABC中，DE∥AB，且 $\frac{C D}{B D}$ ＝ $\frac{3}{2}$ ，则 $\frac{C E}{C A}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{2}$

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7. 如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若 $∠ A = 20 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为（）

A、70° B、90° C、40° D、60°

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8. 如图， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 位似，点O是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则 $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 的周长之比是（）

A、1∶2 B、1∶4 C、1∶3 D、1∶9

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9. 如图，已知正五边形 $A B C D E$ 内接于 $⊙ O$ ，连接 $B D$ ，则 $∠ C D B$ 的度数是（）

A、72° B、54° C、36° D、30°

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10. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 上的部分点的横坐标 $x$ 与纵坐标 $y$ 的对应值如表：
$x$
…
-1
0
1
2
3
…
$y$
…
3
0
-1
$m$
3
…
以下结论错误的是（）

A、抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的顶点坐标为 $(1 ， - 1)$ B、当 $x > 1$ 时，y随x增大而增大 C、方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根为0和2 D、当 $y > 0$ 时， $x$ 的取值范围是 $0 < x < 2$

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二、填空题

11. 在一个不透明的口袋中装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有20次摸到红球，则口袋中红球的个数约为．

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12. 反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图像的两个分支分别位于第二，四象限，则 $k$ 的取值范围是．

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13. 如图，将 $△ A O B$ 绕点O按逆时针方向旋转55°后得到 $△ C O D$ ，若 $∠ A O B = 15 °$ ，则 $∠ A O D$ 的度数是．

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14. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆 $B E$ 测量建筑物的高度，已知标杆 $B E$ 高 $1.5$ m，测得 $A B = 1.2$ m， $B C = 14.8$ m．则建筑物 $C D$ 的高是m．

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15. 如图，B为 $⊙ O$ 外一点， $B A$ 与 $⊙ O$ 相切于点A， $O B = 10$ ， $∠ B = 30 °$ ，则 $O A$ 长为．

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16. 一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是 $y = - \frac{1}{12} x^{2} + \frac{2}{3} x + \frac{5}{3}$ ．则他将铅球推出的成绩是 m．

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三、解答题

17. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (- 2 ， - 4)$ ， $B (0 ， - 4)$ ， $C (1 ， - 1)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 绕点O逆时针旋转90°后的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、点 $A_{1}$ 的坐标为，点 $B_{1}$ 的坐标为，点 $C_{1}$ 的坐标为．

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18. 如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦 $A B$ 交小圆于C，D两点， $A C = 2$ ．求 $B D$ 的长．

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19. 已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $(2 ， 2)$ ．

(1)、求这个反比例函数的表达式；

(2)、当 $- 3 < x < - 1$ 时，求 $y$ 的取值范围．

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20. 已知抛物线 $C_{1}$ 的解析式为 $y = x^{2} - 2 x + 1$ ，将抛物线 $C_{1}$ 先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线 $C_{2}$ ．

(1)、求抛物线 $C_{2}$ 的函数关系式；

(2)、点 $A (a ， - 3)$ 能否在抛物线 $C_{2}$ 上？请说明理由．

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21. 一个不透明的口袋中有四个完全不相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．

(1)、随机摸取一个小球，标号是2的概率为；

(2)、随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，请用列表法（或树状图）求两次取出的小球标号的和为4的概率．

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22. 如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形 $A B C D$ 的面积为 $S (m^{2})$ ．问 $A B$ 长为多少时S最大，并求最大面积．

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23. 如图1，A，P，B，C是 $⊙ O$ 上的四个点， $∠ A P C = ∠ B P C$ ．

(1)、若 $∠ A P C = 60 °$ ，判断 $△ A B C$ 的形状，并证明你的结论；

(2)、如图2，若CP是 $⊙ O$ 的直径， $A B$ ， $C P$ 交于点E，过点A的切线交 $C P$ 的延长线于点Q，若 $C P = 4 \sqrt{5}$ ， $A B = 8$ ，求 $A Q$ 的值．

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24. 如图，在 $R t △ A C B$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 8$ ， $A B = 10$ ，点D在 $A B$ 上，且 $B D = B C$ ，点E是边 $A C$ 上一动点（点E不与点A，C重合），过点E作 $E F ⊥ A B$ ，垂足为点F，设 $A F = x$ ， $△ A E F$ 与 $△ A C D$ 重叠部分的面积为S．

(1)、求 $B D$ 的长；

(2)、求S与x的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围．

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25. 综合与实践
问题情境：数学活动课上，李老师出示了一个问题：
如图1，在 $△ A B C$ 中，点E，D分别在边AB，AC上，连接DE， $∠ A D E = ∠ A B C$ ．
求证： $∠ A E D = ∠ C$ ．

(1)、独立思考：请解答李老师提出的问题．

(2)、实践探究：在原有问题条件不变的情况下，李老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．
“如图2，延长CA至点F，使 $D F = B E$ ，连接BF．延长DE交BF于点H，且 $∠ B H E = ∠ F A B$ ．在图中找出与 $D H$ 相等的线段，并证明．”

(3)、问题解决：数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当 $∠ B A C = 90 °$ 时，若给出 $△ A B C$ 中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求．该小组提出下面的问题，请你解答．
“如图3，在（2）的条件下，若 $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 3$ ， $A C = 2$ ，求 $E H$ 的长．”

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26. 如图1，抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + b x + 3$ 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点B坐标为 $(6 ， 0)$ ，点D为线段OB上一点，点E为抛物线上一动点．

(1)、求b的值；

(2)、点D坐标为（3，0），点E在第一象限的抛物线上，设 $△ E C D$ 的面积为S，求S的最大值；

(3)、如图2，点D坐标为（4，0），是否存在点E，使 $∠ A B E = \frac{1}{2} ∠ O D C$ ，若存在，请求出点E坐标，若不存在，说明理由．

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$x$	…	-1	0	1	2	3	…
$y$	…	3	0	-1	$m$	3	…