广东省深圳市龙岗区2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试卷

试卷更新日期：2023-01-05 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列四个几何体中，左视图为圆的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，已知 $A E ⊥ B D$ 于 $E$ ， $∠ B D C = 60 °$ ， $B E = 1$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、3 B、2 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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3. 如图，在 $R t △ A B C$ 中，已知 $∠ C = 90 °$ ， $A C = 1$ ， $B C = 2$ ，则 $s i n B$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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4. 如图，已知直线l₁ $/ /$ l₂ $/ /$ l₃ ，直线AC分别与直线l₁ ， l₂ ， l₃ ，交于A、B、C三点，直线DF分别与直线l₁ ， l₂ ， l₃交于D、E、F三点，AC与DF交于点O，若BC＝2AO＝2OB，OD＝1．则OF的长是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 一元二次方程 $x^{2} - 5 x + 5 = 0$ 的根的情况为（）

A、无实数根 B、有两个不相等的实数根 C、有两个相等的实数根 D、不能判定

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6. 某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（）
实验次数
100
200
300
500
800
1000
2000
频率
0.365
0.328
0.330
0.334
0.336
0.332
0.333

A、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 B、抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5 C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” D、抛一枚硬币，出现反面的概率

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7. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $A (1.5 ， 0)$ ， $D (4.5 ， 0)$ ， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 位似，原点O是位似中心．若 $C (1 ， 3)$ ，则点F的坐标是（）

A、 $(2 ， 6)$ B、 $(2.5 ， 4.5)$ C、 $(3 ， 9)$ D、 $(4 ， 8)$

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8. 如图，把一块长为 $40 c m$ ，宽为 $30 c m$ 的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为 $600 c m^{2}$ ，设剪去小正方形的边长为 $x c m$ ，则所列方程正确的为（）

A、 $(30 - 2 x) (40 - 2 x) = 600$ B、 $(30 + 2 x) (40 + 2 x) = 600$ C、 $30 \times 40 - 2 \times 30 x - 2 \times 40 x = 600$ D、 $30 \times 40 + 2 \times 30 x + 2 \times 40 x = 600$

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9. 已知二次函数 $y = a x^{2} + 2 x - 3$ ，则该函数的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，过点 $C$ 分别作 $A B ， A D$ 边上的高 $C E ， C F$ ，连接 $B F$ 交 $C E$ 于点 $G$ ，若点 $E$ 是 $A B$ 的中点，则 $\frac{E G}{C G} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$

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二、填空题

11. 已知 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3}$ ，则 $\frac{a}{a + b}$ 的值为 .

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12. 计算：tan 45°+ $\sqrt{2}$ cos 45°=

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13. 若 $m 、 n$ 是方程 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ 的两根，则 $m n$ 的值为．

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14. 如图， $A$ 是反比例函数 $y_{1} = \frac{- 2}{x} (x < 0)$ 图象上一点， $B$ 是反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x} (x > 0)$ 图象上一点，连接 $A B$ 交 $y$ 轴于点 $C$ ，若 $A C = B C$ ， $S_{△ A O B} = 3$ ，则 $k =$ ．

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15. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， E是 $B C$ 的中点，F是 $C D$ 边上一点，将 $△ C E F$ 沿 $E F$ 折叠得到 $△ G E F$ ，连接 $C G$ 并延长分别交 $E F$ ， $A B$ 于O，H两点，若G是 $O H$ 的中点，则 $C F =$ ．

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三、解答题

16. 解方程： $2 x (x + 1) = x + 1$ .

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17. 某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选．

(1)、随机抽取1人，甲恰好被抽中的概率是；

(2)、若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概率．

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18. 小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物 $O B$ 的影长 $O C$ 为16米， $O A$ 的影长 $O D$ 为20米，小明的影长 $F G$ 为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且 $A O ⊥ O D$ ， $E F ⊥ F G$ ．已知小明的身高 $E F$ 为1.8米．

(1)、求建筑物OB的高度；

(2)、求旗杆的高AB．

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19. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $A D ∥ B C$ ， $A C$ 平分 $∠ D A B$ ，连接 $B D$ 交 $A C$ 于点 $O$ ，过点 $C$ 作 $C E ⊥ A B$ 交 $A B$ 延长线于点 $E$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 为菱形；

(2)、若 $O A = 4$ ， $O B = 3$ ，求 $C E$ 的长．

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20. 某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．

(1)、直接写出工厂每天的利润 $y$ 元与每千克降价 $x$ 元之间的函数关系式（要求化为一般式）；

(2)、若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则降价应为多少元？

(3)、当降价为多少元时，有最大利润，最大利润是多少？

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21. 杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图1，即 $F_{1} \times L_{1} = F_{2} \times L_{2}$ ），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图2）．制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点 $O$ ，并用细麻绳固定，在支点 $O$ 左侧10cm的 $A$ 处固定一个金属吊钩，作为秤钩；第二步：取一个质量为1kg的金属物体作为秤砣．（备注：秤钩与称砣绳长的重量忽略不计）

(1)、图2中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点 $O$ 右侧的 $B$ 处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时， $O B$ 的长度随之变化．设重物的质量为 $x$ kg， $O B$ 的长为 $y$ cm．则 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式是；若 $0 < y < 50$ ，则 $x$ 的取值范围是．

(2)、调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点 $O$ 右侧的 $B$ 处，使秤杆平衡，如图3．设重物的质量为 $x$ kg， $O B$ 的长为 $y$ cm．完成下列问题：
① $y$ 关于 $x$ 的函数解析式是      ▲ ；
②完成下表：
$x$ /kg
…
0.25
0.5
1
2
4
…
$y$ /cm
…
      ▲
      ▲
      ▲
      ▲
      ▲
…
③在直角坐标系中画出该函数的图象．

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22. 如图

(1)、【探究发现】如图1，正方形 $A B C D$ 的对角线交于点 $O$ ， $E$ 是 $A D$ 边上一点，作 $O F ⊥ O E$ 交 $A B$ 于点 $F$ ．学习小队发现，不论点 $E$ 在 $A D$ 边上运动过程中， $△ A O E$ 与 $△ B O F$ 恒全等，请你证明这个结论；

(2)、【类比迁移】如图2，矩形 $A B C D$ 的对角线交于点 $O$ ， $∠ A B D = 30 °$ ， $E$ 是 $B A$ 延长线上一点，将 $O E$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到 $O F$ ，点 $F$ 恰好落在 $D A$ 的延长线上，求 $\frac{A E}{A F}$ 的值；

(3)、【拓展提升】如图3，等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ， $B C = 12$ ，点 $E$ 是 $B C$ 边上一点，以 $B E$ 为边在 $B C$ 的上方作等边 $△ B E F$ ，连接 $C F$ ，取 $C F$ 的中点 $M$ ，连接 $A M$ ，当 $A M = \sqrt{7}$ 时，直接写出 $B E$ 的长．

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实验次数	100	200	300	500	800	1000	2000
频率	0.365	0.328	0.330	0.334	0.336	0.332	0.333

$x$ /kg	…	0.25	0.5	1	2	4	…
$y$ /cm	…	▲	▲	▲	▲	▲	…