北京市顺义区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-01-05 类型：期末考试

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一、单选题

1. 中国高铁是一张亮丽的名片，中国成功建设世界上规模最大、现代化水平最高的高速铁路网，形成了具有自主知识产权的世界先进高铁技术体系，打造了具有世界一流运营品质的中国高铁品牌．截止到2021年底，中国电气化铁路总里程突破11万公里，其中高铁41000公里．将41000用科学记数法表示应为（）

A、 $0.41 \times 1 0^{5}$ B、 $41 \times 1 0^{3}$ C、 $4.1 \times 1 0^{5}$ D、 $4.1 \times 1 0^{4}$

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2. 已知 $3 x = 4 y (y \neq 0)$ ，那么下列比例式不成立的是（）

A、 $\frac{x}{3} = \frac{y}{4}$ B、 $\frac{x}{4} = \frac{y}{3}$ C、 $\frac{x}{y} = \frac{4}{3}$ D、 $\frac{3}{y} = \frac{4}{x}$

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3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，那么∠B的余弦值是（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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4. 在平面直角坐标系中，将抛物线 $y = x^{2}$ 平移，可以得到抛物线 $y = x^{2} + 2 x + 1$ ，下列平移的叙述正确的是（）

A、向上平移1个单位长度 B、向下平移1个单位长度 C、向左平移1个单位长度 D、向右平移1个单位长度

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5. 如图，为测楼房 $B C$ 的高，在距楼房50米的 $A$ 处，测得楼顶的仰角为 $a$ ，则楼房 $B C$ 的高为（）

A、 $50 t a n a$ 米 B、 $\frac{50}{t a n a}$ 米 C、 $50 s i n a$ 米 D、 $\frac{50}{s i n a}$ 米

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6. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，点E在边 $A D$ 上，射线 $C E$ 交 $B A$ 的延长线于点F，若 $\frac{A E}{E D} = \frac{1}{2}$ ， $A B = 3$ ，则AF的长为（）

A、1 B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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7. 如图，现有一把折扇和一把圆扇．已知折扇的骨柄长等于圆扇的直径，折扇扇面的宽度是骨柄长的 $\frac{2}{3}$ ，折扇张开的角度为120°，则两把扇子扇面面积较大的是（）

A、折扇 B、圆扇 C、一样大 D、无法判断

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8. 下面两个问题中都有两个变量：
①矩形的周长为20，矩形的面积y与一边长x；②矩形的面积为20，矩形的宽y与矩形的长x．其中变量y与变量x之间的函数关系表述正确的是（）

A、①是反比例函数，②是二次函数 B、①是二次函数，②是反比例函数 C、①②都是二次函数 D、①②都是反比例函数

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二、填空题

9. 分解因式：x²y-4y= ．

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10. 对于二次函数 $y = - 2 {(x + 3)}^{2} - 1$ ，当 $x$ 的取值范围是时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小．

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11. 某一时刻，小明测得一高为1m的竹竿的影长为0.8m，小李测得一棵树的影长为 $9.6 m$ ，那么这棵树的高是．

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12. 将二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 3$ 化为 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 的形式，则 $h =$ ， $k =$ ．

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13. 如图，点A，B，C都在 $⊙ O$ 上，如果 $∠ A O C = ∠ A B C$ ，那么 $∠ A + ∠ C$ 的度数为．

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14. 若抛物线 $y = x^{2} - 2 x + k - 1$ 与x轴有交点，则k的取值范围是．

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15. 如图，在等腰直角 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点D是AC上一点，如果 $C D = 6$ ， $s i n ∠ C B D = \frac{3}{5}$ ，那么AB的长为．

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16. 如图，正方形 $A B C D$ 的顶点A，B都在 $⊙ O$ 上，且 $C D$ 边与 $⊙ O$ 相切于点E，如果 $⊙ O$ 的半径为1，那么正方形 $A B C D$ 的边长为．

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三、解答题

17. 计算： $2 s i n 45 ° + \sqrt{18} - c o s 60 ° + {(\sqrt{3} - 1)}^{0}$ ．

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18. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 3 - 2 x > 5 - 4 x \\ \frac{7 x - 3}{2} < 3 x \end{array}$ ．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D在边 $B C$ 上，且满足 $C A^{2} = C D \cdot C B$ ．请找出图中的一对相似三角形，并证明．

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20. 已知：在平面直角坐标系 $x O y$ 中，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象与直线 $y = m x (m \neq 0)$ 都经过点 $A (2 ， 2)$ ．

(1)、分别求k，m的值；

(2)、若点P的坐标为 $(n ， 0) (n > 0)$ ，过点P作平行于y轴的直线与直线 $y = m x$ 和反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象分别交于点C，D，若点D在点C的上方，直接写出n的取值范围．

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21. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，若 $A B = 2$ ．请你添加一个条件： ▲ ，设计一道解直角三角形的题目（不用计算器计算），并画出图形，解这个直角三角形．

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22. 如图，A是 $⊙ O$ 的直径 $C D$ 延长线上的一点，点B在 $⊙ O$ 上， $∠ A = ∠ C = 30 °$ ．

(1)、求证： $A B$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B C = 2 \sqrt{3}$ ，求 $A C$ 的长．

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23. 如图，将等边三角形 $A B C$ 折叠，使点A落在 $B C$ 边上的点D处（不与B、C重合），折痕为 $E F$ ．

(1)、求证： $△ B D E ∼ △ C F D$ ；

(2)、若 $B D = 6$ ， $D C = 2$ ，分别求 $△ B D E$ ， $△ C F D$ 的周长；

(3)、在（2）的条件下，求BE的长．

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24. 在证明圆周角定理时，某学习小组讨论出圆心与圆周角有三种不同的位置关系（如图1，2，3所示），小敏说：当圆心O在∠ACB的边上时，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明．小亮说：当圆心O在∠ACB的内部或外部时，可以通过添加直径这条辅助线，把问题转化为圆心O在∠ACB的边上时的特殊情形来解决．请选择图2或图3中的一种，完成证明．
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．已知：如图，在 $⊙ O$ 中， $\overset{⌢}{A B}$ 所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB．
求证： $∠ A C B = \frac{1}{2} ∠ A O B$ ．

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25. 如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙 $A D$ 和 $B C$ 与路面 $A B$ 垂直，隧道内侧宽 $A B = 8$ 米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面 $A B$ 上取点E，测量点E到墙面 $A D$ 的距离 $A E$ ，点E到隧道顶面的距离 $E F$ ．设 $A E = x$ 米， $E F = y$ 米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表：
x（米）
0
2
4
6
8
y（米）
4.0
5.5
6.0
5.5
4.0

(1)、根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为 ▲ 米，并求出满足的函数关系式 $y = a {(x - h)}^{2} + k (a < 0)$ ；

(2)、请你帮助工程人员建立平面直角坐标系．描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的函数的图象．

(3)、若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧道顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？

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26. 已知：二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + a + 1$ ．

(1)、求这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；

(2)、若点 $A (n + 1 ， y_{1})$ ， $B (n - 2 ， y_{2})$ 在抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + a + 1 (a > 0)$ 上，且 $y_{1} < y_{2}$ ，求n的取值范围．

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27. 已知：在平行四边形 $A B C D$ 中， $A E ⊥ B C$ 于点 $E$ ， $D F$ 平分 $∠ A D C$ ，交线段 $A E$ 于点 $F$ ．

(1)、如图1，若 $A E = A D$ ，延长 $E A$ 到点 $G$ ，使得 $A G = B E$ ，连接 $D C$ ，依题意补全图形并证明 $D G = A B$ ；

(2)、在（1）的条件下，用等式表示线段 $C D$ ， $A F$ ， $B E$ 之间的数量关系，并证明；

(3)、如图2，若 $A E ： A D = 1 ： 2$ ，用等式表示线段 $C D$ ， $A F$ ， $B E$ 之间的数量关系，直接写出结果．

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28. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，图形M上存在一点P，将点P先向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到点Q，若点Q在图形N上，则称图形M与图形N成“斜关联”．

(1)、已知点 $A (- 2 ， 1)$ ， $B (- 2 ， 2)$ ， $C (- 1 ， 2)$ ， $D (- 1 ， 1)$ ．
①点A与B、C、D中的哪个点成“斜关联”？
②若线段 $A B$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 成“斜关联”，求k的取值范围；

(2)、已知 $⊙ T$ 的半径为1，圆心T的坐标为 $(t ， 0)$ ，直线l的表达式为 $y = \sqrt{3} x + 6$ ，若 $⊙ T$ 与直线l成“斜关联”，请直接写出t的取值范围．

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x（米）	0	2	4	6	8
y（米）	4.0	5.5	6.0	5.5	4.0